수학으로 들어가 과학으로 나오기

수학으로 들어가 과학으로 나오기

리용러 지음

하이픈 / 2019년 12월 / 331쪽 / 17,000원



우리에게 익숙한 수학 이야기



세계 최초의 공부 깡패 - 첫 번째 수학 위기

요즘 ‘공부 깡패’라는 말은 월등하게 공부를 잘하는 사람을 가리키는 의미로 쓰곤 한다. 하지만 본래 의미는, 학계에서 자기 지위를 이용해 자기 의견과 다른 사람을 탄압하거나 제거하는 사람을 가리키는 말이다. 그래서 ‘학계의 악질’이라고 부르기도 한다. 세계 최초의 ‘공부 깡패’는 누구일까?

만물의 근원은 수: BC 500년경, 지구상에는 국가가 몇 개 없었다. 그런 시기에 그리스의 피타고라스와 그의 학파는 뛰어난 수학적 성과를 거두었다. 대표적인 것으로 피타고라스의 정리는, 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다는 것을 말한다. 피타고라스학파는 ‘만물의 근원은 수(數)’, 그것도 ‘정수(整數)’라는 관점을 고수했으며, 우주의 본질은 ‘수’이고, ‘수’를 연구하는 것이 ‘우주를 연구하는 것’이라 했다. 참고로 수의 한 축에 다트를 던지면 정수에 꽂힌다. 예를 들면 A점(??=-3), C점(??=3)처럼 정수에 꽂히거나 B점(??=-0.5)에 꽂힐 수 있다. 그럼 B는 어떻게 정수라고 할 수 있을까? 피타고라스는 B가 정수는 아니지만, 두 정수의 비율이라고 말했다. 즉 -0.5=-이다. 다시 말하면 B는 정수가 아니지만, 정수로 표현할 수는 있다.

완벽한 유리수: 두 정수의 비를 나타내는 수를 유리수라고 하는데, 분수가 유리수에 속한다. 정수는 자신과 1의 몫이므로 정수도 유리수이다. 피타고라스의 관점으로 정리하자면, 숫자축의 모든 점은 유리수라고 할 수 있다. 유리수는 세 가지로 나눌 수 있다. 첫째, 정수이다. 예를 들면 0, 1, 2…가 속한다. 둘째, 유한소수인데, 이것은 분수 형태로 표기한다. 예를 들면 3.8==이다. 셋째, 순환소수인데, 이것도 분수 형태로 표기할 수 있다. 예를 들면 0.333…=이다. 그리고 0.343434… 같은 순환소수를 분수로 바꾸는 방법은, 분자에 반복 순환되는 숫자를 쓰고, 분모에 반복되는 순환마디 숫자의 개수만큼 분모에 9를 쓴다. 이렇게 하면 0.343434…=가 된다.

첫 번째 수학 위기: 어느 날, 피타고라스학파의 젊은 학자인 히파소스가 질문했다. “직각삼각형의 두 직각변이 모두 1이라고 할 때, 빗변의 길이는 어떻게 두 정수의 비로 나타낼 수 있죠?” 분명 피타고라스의 정리에 따르면 빗변의 길이는 이다. 를 어떻게 두 정수의 비로 나타낼까? 히파소스는 이 문제에 대한 해답을 찾지 못해 스승인 피타고라스에게 도움을 청했다. 피타고라스는 히파소스의 질문에 대한 답을 찾지 못했다. 하지만 자기가 이미 세운 수(數)와 우주에 대한 신앙과 같은 이론을 무너뜨리고 싶지도 않았다. 그래서 피타고라스는 이 문제를 덮기로 하고, 히파소스를 바다에 빠뜨려 죽였다. 결국 히파소스는 진리를 탐구하다 자신을 헌신한 인물로 역사에 남았고, 피타고라스는 역사상 첫 번째 학계의 악질 ‘공부 깡패’가 되었다. 그리고 이 사건은 첫 번째 수학 위기로 불리게 되었다.

위기는 어떻게 해결해야 할까? 이 문제를 해결하기 위해 무리수(無理數, 실수이면서 분수의 형식으로 나타낼 수 없는 수) 개념을 도입했다. 순환하지 않는 무한소수인 무리수는 정수이고, 비를 표시할 수 없다. 예를 들어 원주율 π=3.1415926…, 자연상수 e=2.71828…, 등은 모두 무리수이다. 실수의 개념이 나온 뒤 사람들은 -1을 제곱근풀이 하면 그 결과가 어떻게 나올지 궁금해 했다. 하지만 알다시피 어떠한 실수의 제곱도 마이너스가 될 수 없어 -1은 제곱근풀이를 할 수 없다. 그럼에도 불구하고 사람들은 히파소스 덕에 -1도 가치가 있다고 여겨 허수 ??라고 부르고 ??2=-1이라 했다. 이후 실수와 허수를 합쳐 ‘복소수(複素數)’라고 불렀다.

수학자는 도박장에서 돈을 딸 수 있을까? - 확률론

도박장에서 벌어질 수 있는 수학 문제를 가장 먼저 연구한 사람은 17세기 네덜란드의 수학자이자 물리학자 그리고 천문학자인 크리스티안 하위헌스이다. 1757년에 출판한 저서 『주사위 도박 이론』은 확률론을 이용해 도박 결과를 분석한 것으로, 이것이 확률론의 시작이라고 생각한다.

바카라: 바카라는 카드를 나눠주고 크기를 비교하는 게임으로, 이 게임을 하는 방법은, 딜러가 8세트의 카드를 전부 섞은 다음 뱅커와 플레이어에게 2~3장의 카드를 나눠준다. 카드를 받으면 베팅한 후 자기가 받은 카드를 공개한다. 뱅커와 플레이어는 공개한 카드 점수를 더해 끝자리 수가 큰 사람이 이긴다. 게임 승패는 다음과 같이 세 가지로 나뉜다. ‘① 뱅커가 이긴다. ② 플레이어가 이긴다. ③ 무승부이다.’ 만약 뱅커나 플레이어가 이기는 쪽에 돈을 걸면 1배를 돌려받으며, 무승부에 돈을 걸면 9배를 돌려받는다. 그럼 바카라를 할 때 어디에 돈을 거는 것이 더 유리할까?

이 문제는 복잡하니 주사위 게임으로 설명해 보자. 규칙은 다음과 같다. ‘① 불투명한 두 개의 통에 1~6점이 적힌 주사위를 하나씩 넣는다. ② 통을 흔들어 주사위를 섞은 후, 어느 쪽 통에 든 주사위의 점수가 더 큰 점수인지 혹은 무승부인지를 정한 후 돈을 건다. ③ 통을 열어 비교하여 어느 한쪽이 이기는 쪽에 돈을 걸었으면 2배를 돌려받고, 무승부이면 5배를 돌려받는다.’ 이 규칙은 공평한가?

고전 책략: 이 문제를 해결하려면 고전 책략을 써야 한다. 고전 책략이란 한 과정에 모두 ??종의 결과가 가능하고 모든 종류의 결과가 발생할 가능성이 같은 것이다. 그중에 사건 ??가 발생할 가능성은 ??종이다. 이때 사건 ??의 확률은 ??과 ??의 비율과 같다. 즉, ??(??)=이다. 예를 들어 한 반에 학생이 50명 있을 때 남학생이 20명, 여학생이 30명 있다고 가정하자. 만일 랜덤으로 한 명을 뽑는다면50가지 결과가 나올 수 있다. 남학생을 뽑을 사건은 20가지의 결과가 나올 수 있기 때문에 남학생을 뽑을 확률은 ??(남학생)==이다. 이 게임 중에 두 주사위를 ㉠과 ㉡이라고 할 때, 두 주사위의 결과는 모두 6종의 결과가 가능하다. 따라서 두 개의 주사위 ㉠과 ㉡의 조합은 ??=36종이라는 결과가 나올 수 있고, 각 결과가 나타날 확률은 모두 이다. 만일 ㉠과 ㉡ 주사위의 점수가 같으면 1~1, 2~2, …, 6~6, 총 ??=6종류가 가능하다. 그러므로 무승부가 나타날 확률은 ??(무승부)===이다. 다시 말해 무승부에 걸었다면 이길 확률은 이고, 질 확률은 이다.

수학 기대: 만일 1달러를 걸었을 때 이기면 6달러를 가져가고, 지면 돈을 따지 못한다면 평균적으로 얼마를 가져갈 수 있을까? 이기고 지는 두 가지 상황에서 평균 수익을 계산할 때 상응하는 확률을 곱한 다음 서로 더하면 구할 수 있다. 이를 수학에서는 ‘기대’라고 부른다. 여기서 기대의 의미는 매번 게임이 끝나면 평균적으로 받을 수 있는 돈의 액수이다. ??=6x+0x=1 이는 평균적으로 말해 매 게임 1달러를 걸면 평균 1달러를 가져갈 수 있다는 것이다. 즉 줄곧 무승부에 걸고 속임수를 쓰지 않는다면 확률 상 돈을 따지도 잃지도 않는다. 이번에는 어느 한쪽이 이기는 편에 돈을 걸었다고 하자. 두 통은 모두 15가지의 가능성을 가지고 있다. 따라서 고전 책략에 따라 어느 한쪽의 숫자가 더 높을 확률은 ??==이다. 다시 말해 둘 중 어느 한쪽이 ‘크다’에 걸면, 이길 확률은 모두 이고, 질 확률은 이다. 역시 1달러를 건다고 가정하면 양쪽 중 어느 한쪽이 ‘크다’에 걸면 2달러를 가져가고, 지면 돈을 받지 못한다. 마지막에 획득한 수학 기대는 ??=2x+0x=가 된다. 한쪽이 ‘크다’에 1달러를 걸면 통계적으로 달러를 가져가므로 평균 달러를 손해 보게 된다.

수학 실력으로 돈을 벌 수 있을까?: 모든 상황의 확률을 알았으니 관찰을 통해 자기의 승률을 높일 수 있을 거라는 사람이 있을 것이다. 예를 들어 무승부의 확률은 이고 한쪽이 이길 확률은 이니, 연속으로 2번 무승부가 나오고 연속으로 5번 한쪽이 이기면 다음 5번은 반드시 상대편이 이길 것이라고 말이다. 하지만 이런 생각은 틀렸다. 확률의 의의는 패를 열기 전에 각종 상황의 가능성의 크기를 계산하는 것으로, 일단 패를 뒤집으면 가능성은 확정성으로 변한다. 연속으로 100번 무승부가 나온다 해도 다음에 무승부가 나올 확률은 여전히 이지 줄어들지는 않는다. 간단히 말해서 수학은 당신이 어떻게 돈을 잃었는지 알려줄 수는 있지만, 돈을 벌게 해줄 수는 없다.

교과서에서는 만날 수 없는 물리 이야기



에너지는 어디에서 올까? - 에너지의 전화와 보존

우리가 집에서 쓰는 전기는 발전소에서 보낸 것이다. 발전소에서 집으로 전기를 보내려면 반드시 발전기를 돌려야 하는데, 그 발전기를 돌리기 위해서는 다른 에너지를 소비해야 한다. 우리가 자주 쓰는 전기에너지를 예로 들어, 에너지는 어디에서 오는지 함께 살펴보자.

석탄과 석유 에너지: 화력발전을 살펴보자. 석탄가루를 연소시켜 물을 고압증기로 만들면, 고압증기가 증기터빈을 움직인다. 증기터빈이 발전기를 움직이면 전기에너지가 생산된다. 이 과정에서 석탄의 화학에너지가 연소 소비되어 역학에너지로 전환되고, 다시 역학에너지가 전기에너지로 전환된다. 그렇다면 석탄의 화학에너지는 어떻게 만들어졌을까? 머나먼 고대의 생물 에너지가 전환되어 생긴 것이다. 그렇다면 생물 에너지는 어디에서 올까? 알다시피 육식동물은 초식동물을 먹고, 초식동물은 식물을 먹는데, 이를 먹이사슬이라고 한다. 먹이사슬 상급 소비자(육식동물)의 생물 에너지 근원은 하급 소비자(초식동물)와 생산자(식물)이다. 다시 말해 동물의 본질적인 생물 에너지의 근원은 식물이다.

그렇다면 식물의 에너지는 어디서 올까? 대부분의 식물에는 엽록소가 있고, 엽록소는 광합성을 하는데, 식물은 태양을 이용해야만 이 과정을 완성할 수 있다. 그러므로 태양은 에너지의 전환이 되고, 태양에너지를 유기물 에너지로 전환하는 것을 ‘생물 에너지’라고 부른다. 그렇다면 태양 에너지는 어디에서 올까? 태양이 발열이나 발광 작용을 하는 것은 태양 내부에 대량의 수소가 있기 때문이다. 수소 원자는 자연계에서 가장 작은 원자로, 원자핵 안에 하나의 양자가 있고, 원자핵 밖에는 하나의 전자가 있다. 그리고 수소 원자핵 안의 중성자 개수에 따라 수소 원소는 3가지 동위원소로 나눌 수 있는데, 이 동위원소는 중성자가 없는 프로튬, 중성자가 하나인 듀테륨, 중성자가 두 개인 트리륨이다. 그런데 매우 높은 온도에서 듀테륨과 트리륨 원자핵은 융합반응을 일으키고, 헬륨 원자핵과 중성자를 생성하는 동시에 거대한 에너지를 방출한다. 그 후 이 에너지는 방사 형태로 우주에 발산된다. 그러므로 태양에너지의 근원은 태양 내부의 핵융합 반응, 즉 핵에너지라고 할 수 있다.

핵에너지는 어디에서 오는가? 인류는 이 질문에 대한 답을 알지 못한다. 그러나 빅뱅 초기에 이미 핵에너지가 우주 가운데에 존재했고, 빅뱅 이전의 일에 대해서는 과학자들이 아직 실마리를 찾지 못하고 있다. 종합해 보면, 화력발전의 에너지 전환 과정은 태양의 핵에너지가 융합반응을 통해 빛에너지가 되고, 빛에너지는 광합성 작용을 통해 식물의 생물 에너지로 전환되고, 생물 에너지는 먹이사슬을 통해 생태계로 퍼진다. 생물 에너지는 일정한 환경을 통해 석탄의 화학에너지를 형성하고, 화학에너지는 연소를 통해 증기를 내뿜어 발전기를 돌리며, 발전기가 이런 에너지를 전기에너지로 바꾼다.

다른 에너지의 근원: 지구에 존재하는 대부분의 에너지는 모두 태양에서 나온다. 하지만 다른 에너지의 근원이 두 가지 있는데, 그중 하나가 원자력 발전이다. 핵융합 에너지는 수소폭탄을 제조할 때 사용할 뿐, 핵융합 반응속도를 통제해 전기를 만드는 기술은 아직 개발하지 못했다. 반면 핵분열은 중원자핵이 경원자핵으로 분열하면서 에너지를 발생하는 과정이다. 이때 핵반응 원료는 우라늄 235이다. 하나의 중성자가 우라늄 235 원자핵과 부딪치면 우라늄 235는 크립톤 원자핵 Kr과 바륨 원자핵 Ba로 분열되면서 3개의 중성자를 내뿜는다. 3개의 중성자는 다시 3개의 우라늄 235와 부딪쳐 9개의 중성자를 방출한다. 이런 과정을 ‘연쇄반응’이라고 하는데, 이는 거대한 에너지를 방출할 수 있다.

원자로를 건설해 연쇄반응으로 대량의 열을 방출한 후, 물을 고압 증기로 바꾸고 발전기를 움직여 전기를 만드는 것이 바로 원자력발전이다. 원자력발전은 화력발전에 비해 오염되는 양이 훨씬 적기 때문에 많은 나라에서 원자력발전을 사용하고 있다. 또 다른 에너지는 바로 지열인데, 그 열에너지의 근원은 지구 내부의 핵붕괴 반응이다. 그 외 다른 에너지원은 달이다. 지구상의 물은 태양과 달의 인력 작용으로 인해 밀물과 썰물이 발생하는데, 특히 달은 지구상의 조석에 더 큰 영향을 미친다.

바다에 발전기를 설치하면 조수는 발전기를 움직여 전기를 발생하는데, 이것이 조력발전소의 원리이다. 조력 에너지는 본질적으로 지구와 달이 가진 역학에너지가 전환되어 생긴 것으로, 이런 역학에너지는 지구와 달의 형성 초기에도 존재했다. 이처럼 지구상에 존재하는 대부분 에너지의 근원에는 태양, 지구, 달 이 세 가지가 있다. 그중 태양에너지는 주요 에너지의 근원이 된다. 핵에너지와 역학에너지는 우주 형성 초기에 이미 생겼고, 이런 에너지가 끊임없이 순환하며 이 세상을 다채롭게 만든다.

누가 더 대단할까? - 교류 VS 직류

발명왕 에디슨과 직류 발전기: 패러데이가 발명한 발전기는 직류 발전기였다. 하지만 요즘 우리가 사용하는 전력은 대부분 교류이다. 직류와 교류 중 어떤 것이 더 편할까? 미국의 에디슨은 1882년 직류 전력회사를 세워 고객들에게 전기 시설과 전력을 공급해 단기간에 부를 쌓았다. 하지만 직류는 변압할 수 없다는 단점이 있었다.

발전소에서 만든 전기에너지는 전선을 통해 우리에게 공급되고, 우리가 이 전기를 사용할 때 전선 상에서 일부 에너지가 소모된다. 즉 우리가 받는 전력(??사용)은 발전소에서 보낸 전력(??)에서 전선에서 소모된 전력(??소모)을 제한 것과 같다. 한편 발전소에서 보낸 전력(??)은 전압(??)과 전류(??)의 곱과 같아, ??=????라고 나타낼 수 있다. 그런데 전압이 클수록 전류도 크고 전송되는 전력도 커진다. 한편 전선에서 소모되는 전력(????)은 전류 제곱(??2)과 전기저항(??)의 곱과 같아, ????=??2??로 나타낼 수 있다. 즉, 전류가 클수록 전선의 전기저항도 크고 소모되는 전력도 크다. 따라서 우리가 받는 전력은 둘 사이의 차이다. 즉 ??사용=????-??2??이다.

어떻게 하면 전선에서 생기는 전력 소모를 줄일 수 있을까를 고민한 사람들은 우선 전기저항 ??을 줄이는 방법에 대해 생각했고, 일반적으로 구리는 전기 저항이 적은 편이어서 전선은 동으로 제작한다. 또 전선 길이를 줄이고 면적을 증가하는 것도 저항을 줄이는 방법이 된다. 하지만 이렇게 해도 전기를 쓰는 사람이 많거나 전류의 양이 많을 때는 여전히 전력 소모가 컸다.

전선의 에너지 소모를 낮추려면 ??를 줄여야 하고, 전력이 일정한 상황에서 ??를 줄이려면 ??를 높여야 한다. 그런데 발전소에서 보내는 전압이 너무 높으면 전구는 고압을 견디지 못하고 터져버린다. 이 문제에 대해 에디슨은 1마일마다 발전소를 하나씩 지으면 전선의 전기저항이 줄어드니 해결할 수 있다고 생각했다. 그러나 에디슨의 생각대로 하면 전기료가 늘어날 수 있다는 단점이 있다.

변압기와 고압 송전: 현대의 배전망처럼 송전할 때는 고압으로, 전기를 쓰려는 사람(사용자)에게 송전할 때는 저압으로 바꾸는 방법은 없을까? 요즈음 사용하는 배전망의 기본 원리는 다음과 같다. 발전소에서 보내는 전압은 승압변압기를 거쳐 고압으로 바꿔 고압전선으로 송전해 사용자에게 보내면, 강압변압기를 통해 전압을 낮춰 송전하게 된다. 이 과정을 이해하려면 변압기에 대해 알고 있어야 한다.