수학적 사고법

수학적 사고법

요시자와 미쓰오 지음

사과나무 / 2015년 12월 / 216쪽 / 11,800원





1장 수학에 대한 오해



인도의 수학 교육은 무엇이 다른가

곱셈의 암기와 소프트웨어 개발력의 관계: 현재 세계에서 인구가 가장 많은 상위 세 나라는 중국, 인도, 미국인데 순서대로 약 13억, 약 12억, 약 3억 명이라고 한다. 그것이 2050년이 되면 인도가 약 15억 명, 중국이 약 14억 명이 될 것이라고 예상했다. 인구 면에서는 인도가 중국을 추월하여 세계 제일이 될 것이라는 예상이다. 또한 세계 소프트웨어 기업에 관한 랭킹을 보면, 상위 100위 중 절반 가까이가 인도의 기업이 차지하고 있다. 특히 IT 소프트웨어에 관한 인도 기술자들의 우수성은 예전부터 주목받고 있었다. 인도인의 소프트웨어 기술이 왜 이토록 우수할까? 우선 ‘인도 아이들은 놀랍게도 20X20의 곱셈까지 암기하고 있다. 그렇기 때문에 인도인들은 수학을 잘한다’는 식의 너무도 피상적인 내용밖에 보도하지 않는다. 그것이 어째서 소프트웨어 개발력을 향상시키는 것인가에 대해서는 생각조차 해보지 않는 듯하다.

자릿수가 높은 곱셈을 암기하면 수학 실력이 향상되는 것일까? 그렇다면 수학자들은 모두 구구단 이상의 곱셈을 아주 많이 외우고 있어야 할 테지만, 사실은 그렇지가 않다. 대부분의 수학자들은 구구단만을 외우고 있을 뿐이다. 게다가 일본이 자랑하는 주판을 배운 덕분에 자릿수가 많은 숫자의 곱셈을 즉석에서 답할 수 있는 재능을 가진 사람들이 일본에는 아주 많다. 그런 사람들은 모두 수학을 잘하며, 뛰어난 소프트웨어를 개발할 능력을 가지고 있는 것일까? 전자계산기가 보급되기 전까지 인도의 아이들은 분명 구구단이 아니라 20까지의 정수끼리의 곱셈을 암기했다. 하지만 전자계산기가 보급된 요즘도 반드시 그렇게 하고 있는 것은 아니다. 그렇다면 인도의 수학 교육은 어떻게 다를까?

일본의 초등학교에서 고등학교까지의 12년 동안에 해당하는 학교 조직으로, 인도에는 초등학교(5년), 상급초등학교(3년), 중등학교(2년), 상급중등학교(2년)가 있다. 커리큘럼을 살펴보면, 가령 일본의 중학교 3학년에 해당하는 인도의 중등학교 1학년에서 대수(對數)를 가르치는 것처럼 전반적으로 인도가 수준이 높다. 또한 일본 고교 수학 교과서에서 일찌감치 자취를 감춘 미분방정식과 일본 대학생이 일반교양으로 학습하는 3행3열 행렬 등도 인도의 상급중학교 교과서에 전부 실려 있다. 미분방정식은 시간과 함께 변화하는 자연현상을 파악하는 데 필수적이다. 또한 3행3열 행렬은 공간도형의 변환을 생각할 때 꼭 필요하다.

‘계산규칙’을 가르치는 방법: 하지만 정말 주목해야 할 부분은 인도 수학 교육이 일본과 비교해 그 수준이 높다는 점이 아니다. ‘증명력’을 단련시키겠다는 의지가 초등학교에서 대학 입시에까지 일관되게 담겨 있다는 점이다. 일본의 IT평론가들도 인도의 기술자에 대해 ‘영어가 가능하고 임금 면에서 우위를 차지하고 있을 뿐만 아니라 수학, 특히 증명교육으로 단련한 문제 해결력과 논리력이 뛰어나다’는 점을 오래전부터 지적해왔다.

하이테크 분야에서 세계적으로 높은 평가를 받고 있는 인도 공과대학의 입시 문제집을 보면 2000년도 수학 문제는 16문제 모두 증명문제였다. 객관식 방식 중심으로 문제를 푸는 요령만 학습하고 있는 일본의 수험생들은 손도 대지 못할 문제들뿐이다. 인도 공과대학의 입시 문제나 상급중학교에서 시행하는 집합론에 관한 증명(일본에서는 대학교 수학과 수준이다)을 이 책에서 소개하는 것은 적절치 않을 것 같아 여기서는 아주 기본적이라고 생각되는 부분을 소개한다.

일본에서는 세로로 곱하기를 할 때 십의 자리, 백의 자리, 천의 자리로 옮아감에 따라서 답의 뒷부분을 왼쪽으로 한 자리, 왼쪽으로 두 자리, 왼쪽으로 세 자리씩 비워나간다. 모두가 당연히 여기며 그렇게 하고 있을 것이라 생각되는데 이는 순서대로 하나의 0, 두 개의 0, 세 개의 0을 생략한 형식이다. 하지만 인도의 교과서에는 이들 0이 생략되지 않고 빠짐없이 적혀 있다.

물론 처음부터 0을 생략하는 편이 계산은 빠를 것이다. 하지만 0을 생략하지 않는 형태로 배움으로써 쓰기 계산의 원리를 더욱 쉽게 이해할 수 있게 된다. 나는 초등학생 시절 왜 한 자릿수씩 왼쪽으로 미는지 그 의미를 이해할 수가 없어서 어려움을 겪었던 기억을 지금도 잊을 수가 없다. 인도의 교과서에서 사례를 조금 더 소개해 보겠다.

2+4X7-6÷3=2+28-2=28 이 계산에서 곱셈과 나눗셈은 덧셈이나 뺄셈보다 먼저 계산한다. 이 규칙을 설명할 때, 일본에서는 그 방법만을 가르치는 데 그치고 있다. 반면 인도의 교과서에서는 2개의 계산 예에 대해 계산규칙을 무시하면 어떤 결과가 일어나는지를 각각 3가지 방법으로 설명한다. 예를 들어 앞선 식에서 ‘2+4’를 먼저 계산해버리는 다음과 같은 식으로 말이다. 2+4X7-6÷3=42-6÷3=12 당연히 다른(틀린)답이 나오게 되는데, 이러한 시행착오를 통해 ‘계산 규칙’의 필요성을 설명하는 것이다.

삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실을 설명하는 부분에서는 삼각형의 세 꼭짓점 부근을 잘라내어 그것들의 꼭짓점을 같은 점에 겹치도록 늘어놓으면 평각(180도)이 된다는 사실을 보여준다. 일본 교과서에서는 그것을 하나의 삼각형에 대해서만 보여줄 뿐 그에 대한 자세한 설명문도 없다. 인도의 수학 교과서에서는 그것을 4개의 삼각형에 대해 보여주며, 자세한 설명문도 덧붙여 놓았다. 어쨌든 이것만 살펴봐도 인도의 수학 교육이 ‘증명력’의 전 단계로서의 ‘시행착오’, 그리고 ‘증명력’의 다음 단계로서의 ‘설명문’을 중시하고 있다는 사실을 엿볼 수 있다. 또한 ‘분수로 나눌 때는 분자와 분모를 바꾸어 곱하면 된다’고 무조건 암기시켜서는 안 된다고 썼다. 그렇다면 어떻게 가르치는 것이 좋을까? 그 대답은 반드시 ‘시행착오’를 거치라고 말하고 싶다.

이과ㆍ수학 과목을 기피하는 이유

‘문과에 과학과 수학은 필요 없다’는 미신: 1998년 7월 전미과학재단이 발표한 ‘과학지식 국제 비교’를 살펴보면 일본은 선진 14개국 중에서 크게 뒤쳐진 13위였다. 이는 ‘문과 진학자에게 자연과학과 수학은 필요 없다’는 등의 방침에 따라 이과 과목과 수학 시간을 축소한 결과라고 할 수 있다.

한편 ‘경제물리학’이라는 분야가 정착되고 있는 것처럼 경제와 물리를 융합시킨 연구가 주목받고 있다. 직접적으로는 금융공학의 발전이 큰 계기가 된 것이라 생각된다. 1980년대 후반부터 본격적으로 자리 잡기 시작한 금융 파생상품 거래에, 외국의 유력 헤지펀드는 냉전시대에 대륙 간 탄도 미사일의 궤도 등을 계산하던 수학ㆍ자연과학 전문가를 다수 기용하여 일정 기간에 어느 정도의 자금으로 통화와 주식을 매입하면(혹은 매도하면) 어느 정도까지 가격이 상승(하락)하는지를 미분방정식 등을 이용해 매우 정확하게 예측해왔다.

이러한 한 가지 예만 놓고 보아도 ‘문과생에게 이과와 수학은 필요 없다’는 생각은 국력을 깎아먹는 ‘미신’이라고 할 수 있을 것이다. 일부 이공계ㆍ수학계의 수재만으로 세계 금융공학의 변화에 대응할 수는 없기 때문이다. 이러한 ‘미신’이 만연한 원인으로는, ‘관료적 행정’이 교육계에까지 영향을 주고 있다는 사실을 지적하지 않을 수 없다. 우선 높은 위치에 서서 ‘미래 일본을 위해 어떤 교과의, 어떤 학습법이 필요한가’ 하는 중요한 논의를 행하는 경우가 거의 없다. 그리고 일본의 교육행정은 각 교과의 영역다툼에서 시작되는 경향이 강하다. 그로 인해 각 교과 간의 울타리가 높아져 각 교과가 각각의 울타리 안에 갇혀버리게 되면 다른 교과의 내용을 인용하거나 융합시켜 흥미를 끌게 하고, 이해를 돕는 교육이 불가능해지게 된다. 이는 심각한 사태라 하지 않을 수 없다.

예를 들어 뉴턴역학은 미분적분과 끊으려야 끊을 수 없는 관계에 있으나 일본의 고등학교 물리 교과서에는 미분적분학을 인용한 설명이 없다. 이는 생선초밥집에서 ‘초밥’을 주문했더니 ‘바다’에서 온 회와 ‘논’에서 온 쌀을 각각 다른 접시에 담아 준 것과 다를 바 없을 정도로 우스운 이야기다. 수학적 사고방식과 과학적 현상에는, 사회문제나 인간 개인의 문제를 생각하거나 설명하는 데 필요한 여러 가지 힌트가 넘쳐나고 있다. ‘수학 포기’와 과학ㆍ수학의 ‘학력 저하’ 역시 관료적 교육행정으로는 해결되지 않는다.



2장 ‘시행착오’라는 사고법



풀지 못한다 해도 생각하는 것이 중요하다

이이들에게 수학을 가르치는 요령: 나는 대학, 대학원생 시절에 가정교사로 꽤 많은 아이들에게 수학을 가르쳐 의대 합격생을 비롯해 상당한 성과를 거두기도 했었다. 게이오기주쿠 고등학교의 학생들 중 수학 성적이 초저등급인 ‘D’였던 고교생을 열 명 넘게 가르쳐봤는데, 모두가 몇 개월 만에 ‘B’ 혹은 ‘A’를 받게 되었다. 그중에는 대학의 수학과에 진학한 학생도 있다.

수학 가정교사로 성공하는 비결에는 여러 가지가 있을 것이다. 아이가 어떤 부분을 모르는지 순간적으로 꿰뚫어볼 수 있는 질문을 할 것, 소심한 아이는 적극적으로 칭찬을 해서 자신감을 갖게 할 것, 반대로 ‘그런 것도 모르냐?’는 식의 내색조차 하지 말 것, 목적에 이르기까지 긴 설명이 필요한 사항에 대해서는 목적과 그 사항을 어디에 응용할 수 있는지를 먼저 보여줄 것 등이 있다. 하지만 가장 중요한 것은 ‘방법을 일방적으로 설명하기만 해서는 안 되며, 가능한 한 시간을 주며 아이 자신이 생각하도록 해야 한다’는 점이다.

분명히 말해두고 싶은 것은, 처음부터 방법을 외워 흉내 내기만 하면 어차피 그런 유형의 문제만을 ‘점(点)’으로 습득하게 될 뿐이라는 사실이다. 수학을 어려워하는 중고생들은 시험 전날 예상 문제의 해답만을 벼락치기로 외우는 경우가 많은데, 출제형식을 조금만 바꾸어도 전혀 풀지 못한다는 사실을 보면 분명히 알 수 있다. 반대로 문제를 풀지 못했다 할지라도 한동안 생각한 경험이 있으면 그 해법을 찾아내거나 배웠을 때 그 문제 주변까지도 포함해서 ‘면(面)’으로써 이해할 수 있게 된다. 그렇게 해서 자신의 것이 된다. 자동차를 타고 낯선 지방에 갔다고 하자. 조수석이나 뒷자리에 앉아서 간 경우에는 길을 외우려 해도 잘 외워지지 않지만 스스로 운전대를 잡고 지도나 이정표가 될 만한 건물을 확인하며 갔을 때는 약간 헤맸다 하더라도 목적지에 도착한 후 주변의 지리가 자연스럽게 머리에 들어온다. “한동안 생각해본 경험이 있으면 ‘면’으로써 이해할 수 있다”는 말은 바로 그런 의미이다.

하나의 문제와 언제까지고 씨름하는 것은 미련하고 비효율적인 것처럼 보일지도 모른다. 하지만 절대로 그렇지 않다. 연구하는 사람에게서 “생각지도 못했던 실수나 사람과의 만남 덕분에 큰 발견, 발명을 하게 됐다”는 말을 흔히 들을 수 있다. 그래서 “운이 좋았을 뿐입니다”라고 말하곤 하지만, 실제로는 평소 숱하게 많은 시행착오를 겪으며 생각에 생각을 거듭하고 있었기에 단순한 실수나 사람과의 만남에서 작지만 결정적인 자극이 주어져 그것이 커다란 발견, 혹은 발명으로 이어지는 것이다. 결국 연구에서의 ‘영감(Inspiration)’이란 결코 우연히 떠오르는 것이 아니라 생각에 생각을 거듭한 끝에 문득 깨닫게 되는 것 같다. 부모님과 교사들은 대체로 아이들이 무엇인가를 해냈을 때 칭찬해주곤 하지만 무엇인가를 끝까지 생각하는 자세에 대해서도 꼭 칭찬을 해주기 바란다.

‘정성적’인 것은 암기, ‘정량적’인 것은 시행착오

정성적인 ‘결론’에만 얽매이는 것은 위험하다: ‘코엔자임Q10은 세포를 젊게 한다’, ‘아미노산은 지방을 연소한다’, ‘동물성 지방은 비만의 가장 큰 원인’, ‘자외선은 피부암의 가장 큰 원인’ 등은 일상에서 흔히 들을 수 있는 말들이다. 대중들은 이런 말에 특히 민감하게 반응하기 때문에 일부 제품이 품절 상태가 되거나, 일부 사람들이 지나치게 편식을 하게 되는 경우도 있다. 그 내용의 진위를 떠나서 이처럼 ‘양(量)’이 아니라 ‘성질’에 대해서만 언급하는 경우를 ‘정성적(定性的)’인 내용이라고 한다. 한편 ‘설탕을 약간 넣는다’, ‘술은 모든 약 중에 으뜸이지만, 과하면 해롭다’, ‘어패류를 약한 불에 올려 약 1시간 정도 삶는다’ 등의 말처럼 ‘양’에 대해서 언급하는 경우를 ‘정량적’인 내용이라고 한다.

정성적인 내용과 정량적인 내용을 배울 때는 따로 배우기보다 가능한 한 하나로 묶어 배우는 것이 좋다. 하지만 이 두 가지 사항의 학습법에는 근본적인 차이가 있다. 정성적인 내용은 주로 암기에 의해서 배우지만, 정량적인 내용은 주로 시행착오를 겪어가며 배워야 하는 것이라는 점이다. 따라서 ‘암기형’ 학습법과 ‘시행착오형’ 학습법 모두 필요하지만 시행착오를 거치지 않는 암기교육에만 편중되면 정량적인 것을 잊고 정성적인 것만 부각되기 쉽다.

‘OO이 뇌를 활성화시킨다’는 요란스러운 광고문을 종종 접하게 된다. 그런데 그 내용을 냉정하게 살펴보면, 그 물질이 됐든 행위가 됐든 그것이 가지고 있는 부정적인 면을 고려하지 않았다는 점은 차치하더라도, 뇌를 활성화시키는 것으로 알려진 다른 물질이나 행위와 비교하는 정량적 서술은 생략된 경우가 거의 대부분이다. 예를 들어 오래전부터 ‘꼭꼭 씹는 것’이나 ‘이성교제’가 뇌를 활성화시키는 데 매우 도움이 된다고 알려져 왔으나, 그런 행위들 간의 비교가 없으면 냉정하게 판단을 내리기는 어려운 법이다. 여러 가지로 비교해보는 것은 정량적인 사실을 배우는 넓은 의미에서의 시행착오이며, 그것을 늘 염두에 두었으면 하는 바람이다.

정량적인 것을 모른 채 정성적인 지식만을 갖고 있던 덕분에 목숨을 구한 경우도 있기는 하다. 예를 들어 자살을 위해 수면제를 먹었으나 ‘적정량’을 알지 못해 ‘운 좋게도’ 실패한 경우가 그렇다. 하지만 이것은 목적이 옳지 못한 특수한 사례일 뿐, 그와는 반대로 비극인 경우가 더 많다는 사실은 말할 필요도 없다. 애당초 약품이라는 것은 모두가 독이 될 수도, 약이 될 수도 있는 것인데 이는 한방약이나 건강식품에 대해서도 적용된다. 아연이나 비소처럼 몸에는 틀림없이 해로운 성분이지만, 아주 적은 양을 섭취해주어야만 하는 필수 원소들도 상당수 있다.

이처럼 대체로 정량적인 사실이 너무나도 경시되고 있기 때문에 대부분 사람들이 의미와 과정과는 동떨어진 정성적 ‘결론’에만 사로잡혀 쉽게 우왕좌왕하게 되는 듯하다. 공공사업과 재정의 문제, 환경 위험 문제, 인구동향과 사회보장제도 등 정량적 부분에 대한 이해 없이는 판단을 내릴 수 없는 문제들이 산적해 있다. 이런 문제들에 대해 일부 ‘전문가’에게만 맡겨두지 말고 정량적인 부분에 좀 더 관심을 가졌으면 하는 바람이다.



3장 ‘수학적 사고’의 핵심



목표부터 ‘접근’하도록 하자

일본에는 애완견이 몇 마리나 있을까: 일반적으로 미분적분학을 어려워하는 고등학생, 대학생, 사회인들이 많은데 이는 학습방법에 한 원인이 있다. 무한의 개념에 대한 긴 설명 끝에 나오는 미분. 기다란 직사각형을 쌓아올리는 ‘구분구적법’에 관한 길고 긴 설명 끝에 등장하는 적분. 이래서는 참을성 있게 학습하지 못하는 사람들은 중간에 포기해버리고 말지도 모른다. 만약 “미분이란 한마디로 말해서 곡선의 기울기를 나타내는 것인데, 구체적으로 이 점에 대해서는 이렇게 기울기를 구할 수 있습니다”라거나, “적분이란 한마디로 말해서 넓이나 부피를 나타내는 것인데 구체적으로 이 부분에 대해서는 이렇게 넓이를 구할 수 있습니다”라고 첫 도입부에서 소개를 한다면 어떨까? 인내심이 그다지 많지 않은 사람이라도 목표를 봤다는 사실이 긍정적으로 작용하여 목적의식을 가지고 적극적으로 학습할 수 있을 것이다.

예를 들어 등산 경험이 약간이라도 있는 사람이라면 알 수 있는데, 산 밑에서 올라갈 때 정상 자체는 좀처럼 보이지 않는 경우가 흔히 있다. 그때는 정상 바로 아래에 돌출되어 있는 거대한 바위나, 바위 위에 자란 커다란 나무 한 그루처럼 정상 부근의 표지가 될 만한 무엇인가를 향해 나아간다. 수학에서도 목표에 이르기까지의 직접적인 길은 보이지 않는다 하더라도, 목표에 이를 수 있는, 표지가 될 만한 무엇인가가 목표 근처에 존재하는 경우가 있다. 그 표지를 찾는 법은 “목표에 이르기 위해서는 무엇을 알면 되는가?” 하고 끊임없이 자문하면 된다. 목표 자체에 이르는 길은 잘 보이지 않아도, 그 표지에 이르는 길은 뜻밖에도 쉽게 찾아내는 경우도 있다.