확률은 성공의 답을 알고 있다

확률의 기본지식



확률, 우리 인생의 경우의 수

확률이란 간단하게 말하면 '그렇게 될 비율'이다. 일반적인 표현으로 바꿔보면 '어떤 일이 일어나는 결과의 수 그것이 일어나는 모든 결과의 수'이다. 즉 그런 결과가 나올 가능성이 어느 정도인지 수치로 나타낸 거라고 생각하면 이해가 편하다. 예로 10장 중에 1장의 비율로 들어간 제비뽑기에서 제비를 뽑을 확률은 1/10이다. 주사위의 경우는 정육면체이므로 나올 숫자가 1부터 6까지 총 6개 밖에 없다. 결국 주사위를 던져서 3이 나올 확률은 1/6이다. 다른 숫자는? 마찬가지로 모두 확률은 1/6이다. 다만 그렇게 확률을 얻기 위해서는 어떤 일을 시행했을 때 그 사건이 일어난 결과가 동시다발적으로 일어나지 않고, 모두 같은 비율로 일어난다는 것이 전제조건이 되어야 한다.



확률과 우연의 차이

주사위를 던져서 1이 나오는 것은 '우연의 결과'다. 왜냐하면 어떤 수가 나올지 예측할 수 있는 사람이 아무도 없기 때문이다. 하지만 주사위를 던졌을 때 나오는 수의 경우처럼, 처음에 우연이라고 생각했던 것들에도 어떤 법칙이 있다. 예컨대 주사위의 경우 1이 나오는 결과를 평균 내어 보면 여섯 번에 한 번 꼴로 나온다는 것이다. 이것이 확률이다. 일반적으로 확률은 동전과 주사위를 던졌을 때처럼 동일 조건에서 몇 번이나 반복하는 것이 가능할 때만 산출해낼 수 있다. 야구의 타율처럼 통계적 데이터가 있는 경우에도 구할 수 있다. 그러나 이런 경우가 아니면 계산해내기가 어렵다.



확률이 1/2이라는 것은 무슨 의미일까?

동전을 한 번 던졌을 때 뒷면이 나올 확률은 알다시피 1/2이다. 이 확률을 '수학적 확률'이라고 부른다. 이론적으로 계산해서 나온 확률이라는 뜻이다. 동전을 던졌을 때 나올 결과에는 앞면과 뒷면이란 2개의 경우의 수가 있고, 뒷면이 나오는 경우는 그 가운데 하나이므로 그 확률이 1/2이라는 말이다.

이와는 달리 실제로 동전을 반복해서 던져보고 그 결과로부터 뒷면이 나올 확률을 구하는 것을 '통계적 확률'이라고 한다. 실제로 실행한 결과를 통해 나온 확률이다. 실제로 동전을 열 번 던졌을 때 앞면이 세 번 나오고 뒷면이 일곱 번 나왔다면, 이 경우 확률은 3/10인데, 이 경우에는 동전을 열 번밖에 던지지 않았기 때문에 그 결과가 수학적 확률과는 달리 한쪽으로 치우칠 수 있다. 하지만 동전을 던지는 횟수가 많아질수록 뒷면이 나오는 확률은 1/2에 가까워진다. 결국 동전을 던지는 횟수가 무한대에 가까워지면, '통계적 확률'도 '수학적 확률'과 비슷해진다는 것이다. 이를 '대수(大數, 큰 수)의 법칙'이라고도 한다.



확률의 합계는 항상 1?

주사위 1개를 한 번 던져서 6이 나올 확률은 1/6이다. 그렇다면 6 이외의 수가 나올 확률은 얼마일까? 6 이외의 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5가지이므로 확률은 5/6가 된다. 6이 나올 확률이 1/6이기 때문에, 6이 나올 확률과 6 이외의 수가 나올 확률의 합계는 다음과 같다. 이처럼 확률의 합계는 반드시 1이 된다. 이는 확률을 구할 때 상당히 유용하게 쓰인다. 정리하면 확률의 합계가 반드시 1이 된다고 했을 때, 1에서 확률 A를 빼면 A가 일어나지 않는 확률이 된다. 일반화하면 다음과 같다.

(확률 A) + (A가 일어나지 않을 확률) = 1 (확률 A) = 1 - (A가 일어나지 않을 확률)

승부차기에서 경우의 수?

축구에서 연장전까지 치렀지만, 동점인 채로 경기가 종료되었기 때문에 승부차기를 하게 되었다. 11명의 선수 중에서 승부차기에 투입될 5명의 선수들을 고르고, 공을 차는 순서까지 정해야 한다. 이때 경우의 수는 몇 가지나 나올까?



처음에 볼을 차는 선수는 11명 가운데 누구라도 상관없기에 11가지의 선택 방법이 있다. 두 번째 볼을 차는 선수는 처음에 찬 선수를 제외한 10명 중의 누구라도 좋기에 10명의 선택 방법이 있다. 마찬가지로 11명 중에서 5명을 선택하고 그 순서를 정하는 방법은 다음과 같은 곱셈으로 구할 수 있다.

11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440

이처럼 다른 n개의 것에서 r개를 선택해서 늘어놓는 방법을 n개에서 r개가 되게 하는 순열(順列)이라고 하는데, 순열은 영어로 'permutation'이어서 수학적으로 표시할 때는 'nPr'이라는 기호를 사용한다. 가령 5개 중에서 3개를 골라 나열하는 순열의 경우 '5P3'이라고 표시한다. 일반적으로 다른 n개의 것에서 r개의 것(중복 없음)을 선택해서 나열하는 방법은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.

nPr = n! (n - r)!

좋아하는 여성의 옆자리에 앉게 될 확률은?

남자 3명, 여자 2명이 식사를 하기로 했다. 종종 가던 식당은 5명만 앉을 수 있는 둥근 테이블이었다. 이때 5명이 테이블에 앉는 방법에는 몇 가지가 있는가?



이런 순열을 '원순열'이라고 한다. 누군가 기준이 되는 사람을 정하고 나머지 4명의 순열을 생각하면 된다. 따라서 둥근 테이블에 5명이 앉는 방법은 다음과 같이 산출할 수 있다.



4! = 24가지



당신은 이들 2명의 여성 중 한 사람에게 관심이 있다. 그 여성의 옆에 앉게 될 확률은?



마음에 두고 있는 여성과 나란히 앉는 확률은, 여성 2명을 기준으로 나머지 3명의 순열을 생각하면 나온다. 당신과 그 여성과의 자리가 반대가 되어도 옆에 앉는다는 것에는 변함이 없으므로 3명의 순열을 2배로 한 만큼의 경우의 수가 나온다. 따라서 당신이 그 여성의 옆 자리에 앉게 될 좌석 배치 방법은 '3! x 2 = 12'가지가 된다. 결국 당신이 좋아하는 여성과 나란히 앉게 될 확률은 아래와 같다.

12/24 = 1/2



의외로 높은 확률임을 알 수 있다. 일반적으로 원순열의 계산 방법은 다음과 같다.



n개의 원순열 = ( n - 1 )!

성공을 지배하는 3가지 핵심



결정했기 때문에 달에 갔다

미국이 인간을 달에 보낼 수 있었던 것은, 무엇보다도 그렇게 하려고 결정했기 때문이다. 1961년 케네디 대통령은 1960년대가 지나기 전에 기필코 인간을 달에 착륙시킬 것이며, 이를 국가 프로젝트로 추진하겠다고 선언하는데, 이것이 바로 아폴로 계획이다. 그리고 케네디가 선언한 대로 1969년 7월 16일, 아폴로 11호가 발사돼 7월 20일 암스트롱이 인류 역사상 최초로 달 표면에 착륙한다. 이는 미국이 자국의 자존심을 걸고 실행했기 때문에 가능한 일이었다. 다시 말해 인간을 달에 보내기로 결정했기 때문에 성공한 것이다. 결정을 했으니 그것을 이루려고 필사적으로 매달렸을 것이다. 하지만 우리는 어떤가? 대부분의 사람들은 어떤 일을 시작하기 전부터 '제대로 될까?', '어렵지는 않을까?' 하고 지레짐작 결론을 내리고 포기하곤 한다. 결국 성공하느냐 그렇지 못하느냐 하는 문제는 '결정하고 달려갔는가'에 달려 있다.



행동하는 열정이 없으면 성공은 없다

왜 하고 싶은 것이 있어도 그 일이 제대로 되지 않을까? 그것은 어떻게 해야 하는지 모르기 때문이다. 만약 디즈니랜드에 가서 미키마우스와 만나고 싶다는 꿈이 있을 때, 어떻게 하면 이룰 수 있을까? 디즈니랜드에 가면 된다. 이렇듯 구체적인 방법만 알고 있다면, 누구라도 목표를 향해서 나아갈 수 있다. 어떻게 할지 몰라서 시작하지 못할 뿐이다. 따라서 방법을 모르겠다면 어떻게 해서든지 그것을 찾아야 한다. 정보를 수집하라는 뜻이다. 정보가 있어야만 어떻게 해야 하는지 알게 된다. 목적지(성공)로 가는 길(정보)을 알고 있다면 무엇이 어렵겠는가? 그런데 기회는 기다린다고 오는 것이 아니다. 조금이라도 좋으니 기회에 가까이 가도록 노력해야 한다.



미래를 '오지 않은 때'가 아닌 '가야 할 때'로 만들어라

아무것도 실행하지 않으면 시작할 수 없다. 그런데도 대부분의 사람들은 생각만 할 뿐 시작하려고 하지 않는다. 왜 할 수 없는 걸까? 앞에서 이야기한 것처럼 어떻게 해야 할지 몰라서이기도 하지만, 그 이유를 하나 더 들자면 시작하는 것을 두려워하기 때문이다. 물론 이는 당연한 감정이다. 미래는 아직 오지 않은 것이기에 그 결과가 두려울 수 있다. 하지만 두려워하지 말자. 미래를 '아직 오지 않은 때' 라고 생각하지 말고, '가야 할 때'라고 생각하자. 실수하는 사람은 실수하지 않는 사람보다 빨리 배우고, 깊게 배우고, 쉽게 적응한다. 그러므로 실수하기를 두려워하는 것 자체가 가장 큰 실수다.

실패할 확률을 넘어서는 시도를 하라

성공을 손에 쥐기 위해서는 무엇보다도 계속하는 것이 가장 중요하다. 이것을 확률로 정확하게 설명해보겠다. 성공 확률 50%에 도전하는 경우를 생각해보자. 성공할 확률이 1/2이라고 해서 두 번 하면 한 번은 반드시 성공한다는 이야기가 아니다. 현실은 그렇게 녹록치 않다. 그렇다고 비관할 필요는 없다. 성공 확률 50%라는 이야기는 다섯 번 도전했을 때 성공할 확률이 아래 설명에서 볼 수 있듯이 97%나 된다. 다시 말해 실패할 확률이 절반이어도 포기하지 않고 다섯 번 도전하면, 성공할 가능성이 상당히 높아진다는 것이다.



참고로 성공 확률 50%(0.5)의 일을 다섯 번 실행했을 때, 적어도 한 번 이상 성공할 확률은 아래와 같이 구할 수 있다.



A가 일어날 확률 + A가 일어나지 않을 확률 = 1 다섯 번 중에 적어도 한 번 이상 성공할 확률 = 1 - 다섯 번 모두 실패할 확률

성공할 확률 50%(0.5)인 일을 해서 다섯 번 모두 실패로 끝날 확률은 실패할 확률 50%(0.5)를 다섯 번 곱한 것이 된다.



0.55 0.03 3%

따라서 성공할 확률이 50%인 일을 다섯 번 실행해 적어도 한 번 이상 성공할 확률은 다음과 같다.

100% - 3% = 97%



결국 성공 확률 50%의 일을 다섯 번 하면 97%로 성공할 수 있다.



칵테일파티 효과

청각과 관련 있는 뇌의 신기한 능력 중에 '칵테일파티 효과'가 있는데, 자기가 관심 있는 만큼만 선택해서 들을 수 있는 능력을 말한다. 예로 무척 시끄러운 파티에서도 가까운 사람과 무리 없이 대화를 할 수 있는 이유는 뇌가 특정인의 목소리만을 선택적으로 들을 수 있기 때문이다. 사람은 모든 것을 다 보고 들을 수는 없다. 정보 처리 능력에 한계가 있기 때문이다. 그래서 사람들은 정보를 선택적으로 받아들여 처리한다. 따라서 관심이 있는 대화가 들려오면 조금 떨어진 장소라도 그 소리가 자연스럽게 귀에 흘러들어오게 된다. 주위의 넘치는 소리 중 자기가 관심이 있는 음에만 초점을 맞춰 선택적으로 들을 수 있는 능력이 뇌에 갖춰져 있기 때문에 가능한 것이다.



뇌의 뛰어난 능력은 비단 청각뿐만 아니라 시각 등의 감각기관에도 있다. 당신이 평소 어떤 가수에게 관심이 있다면 신문이나 잡지를 무심코 보다가도 그 가수의 이름이 선택적으로 눈에 띄게 된다. 글자 크기가 작아도 문제없다. 또 아무리 약속장소에 사람이 많아도 사랑하는 애인의 얼굴만은 곧바로 발견할 수 있다. 어떤 때는 애인의 얼굴만 컬러이거나 후광이 비춰 보이기도 한다. 이처럼 강한 관심이 있으면 그 정보를 흡수할 확률이 매우 높아진다.



2080 법칙을 이용하라

성공하기 위해서는 필요한 정보의 최우선 순위를 가려낸 다음, 목표를 향해 가장 빠른 길로 나아가야 한다. 그러기 위해서는 알아두면 편리한 법칙이 있는데, 바로 '2080 법칙'이다. 이탈리아 경제학자 파레토가 발견해서 '파레토 법칙'이라고 부르기도 하는데, 20%의 사람이 80%의 재산을 독점하고 있다는 이론이다. 다시 말해 세계의 부 80%는 한정된 20%의 사람들이 소유한다는 얘기다.





그런데 이 법칙은 경제학뿐만 아니라 다양한 곳에서도 적용된다. '파티 출석자의 20%가 파티장에 있는 80%의 술을 마신다', '직원 20%가 매출의 80%를 올린다', '거래 기업의 20%가 80%의 매출을 점하고 있다' 등이 이 법칙에 해당하는 예인데, 이 법칙은 정보에 대해서도 적용된다. 필요한 정보 전체의 20%를 얻는 것으로 80%의 성과를 올리는 것이 가능하기 때문이다. '80%의 성과를 내는 20%의 정보를 얻어야 한다'라고 바꿔 말할 수도 있다. 핵심이 되는 20%의 정보를 얻는 것이 가능해지면 성공 확률을 80%로 올릴 수 있다는 것이다.



확률적 전략으로 성공하라



갑자기 가위바위보를 하게 될 때는?

갑자기 가위바위보를 하게 되었을 때, 통계적으로 '바위' 또는 '보'를 내는 사람이 '가위'를 내는 사람보다 훨씬 더 많다고 알려져 있다. 왜냐하면 '가위'는 내기 어려운 손의 형태를 하고 있기 때문이다. 따라서 갑자기 가위바위보를 하게 되는 경우에는 '바위'나 '보'를 내는 사람이 많으므로, '보'를 내는 쪽이 승리할 확률을 높일 수 있다.



맞선 파티에서 마음에 드는 상대를 고르는 방법은?

비싼 비용을 내고 맞선 파티 참가 신청을 했는데, 회사에서 갑자기 일이 생겼다. 파티장에 막 도착했을 때는 거의 끝날 무렵이었다. 그런 와중에도 안내데스크에 물어 참가자 수를 알게 되었다. 여성이 20명 참가했단다. 그리고 파티가 끝나면 여성들은 모두 돌아간다고 한다. 두 번 다시 만날 수 없을지 모른다. 모처럼 비싼 돈을 내고 온 것이므로 어떻게 해서든지 한 사람에게라도 말을 걸고 싶다. 파티장을 빠져나가는 20명의 여성들 가운데 자신이 좋아하는 스타일의 여성에게 말을 걸어보려고 한다. 어떻게 하면 좋을까?



여성의 수가 20명이라면 파티장을 나서는 7명까지는 말을 걸지 말고, 8명째부터 지금까지 나간 여성보다 좋아하는 스타일을 갖춘 여성이 있다면 바로 말을 걸면 된다. 전체 인원수가 20명보다 훨씬 많다고 하더라도 같은 방식을 적용하면 된다. 이 전략을 따르게 되면 37%의 확률로 좀 더 좋아하는 스타일의 여성에게 말을 걸 수 있게 된다. 그래서 이 방법을 '37%의 룰'이라고 부른다. 왜 그렇게 되는지 궁금하겠지만 너무 복잡한 계산을 해야 하므로 여기에서는 설명하지 않겠다. 이렇게 된다는 사실만 기억하자. 이는 여러 상황에서 응용할 수 있다. 이사할 집을 보거나 직원을 채용할 때도 도움이 되는 방법이다. 예컨대 100명을 면접해야 하는데 채용 결정을 내릴 시간이 부족하다면, 처음 37명은 서류만 훑어보고 실제 면접은 38명 째부터 한다. 그래서 37명보다 더 좋은 인재가 있으면 채용한다. 이렇게 하면 짧은 시간 안에 좋은 인재를 확보할 수 있다.



'100% 실패'라는 확신이 서면 반대로 하라

'두 회사 중 어느 쪽 회사와 거래를 하는 게 나을까?' 하는 문제에 대해 점을 쳐보려고 한다. 90%의