이야기로 떠나는 수학여행

여행준비



칸토르 주에는 가우스의 영역과 조던의 굴곡, 유클리드의 평지가 펼쳐져 있다. 이번 여행에서 메모지는 빼놓을 수 없는 지참물이다. 칸토르 주로의 여행은 일상적인 여행이라기보다는 하나의 새로운 체험이다. 우리의 모험에서 수학이 차지하는 비중이 결코 적지 않을 것이다. 그건 칸토르 주에서는 지극히 당연한 일이기도 하다.

원래 수학과 이야기는 적대적인 관계가 아니다. 특히 철학과의 경계선상에 놓여 있는 수학의 기본적인 사고, 즉 논리나 무한의 개념, 숫자의 기초 개념 등은 이야기의 형식을 통해 훨씬 더 이해하기가 쉬워진다. 또한 수학과 이야기는 결혼처럼 다양한 관계를 맺는다.

대부분의 친구들은 수학자들이 아니다. 그들은 학교에서 배운 지식만으로도 여행 이야기를 쉽게 이해하고 싶어한다. 그렇다! 나 또한 그렇게 이야기하려고 한다. 이렇게 우리의 수학여행은 시작된다. 이 여행이 학교나 대학교에서 수학을 배우거나 가르치는 모든 이들에게 도움과 즐거움이 되기를 바란다.

자, 이제 출발이다!



여행의 첫 번째 부분



삼각교차각



기차는 만원이었고 객실 안은 무척 소란스러웠다. 기차가 멈추어 서더니 네 명의 승객이 올라탔다. 여자 정원사와 기차 역무원, 건축가 그리고 농부였다.

여자 정원사는 자리에 앉기가 무섭게 입을 열었다. "전 폭우가 내리기 전에 과일나무를 심은 게 천만다행이에요. 여러분도 아시다시피 제 정원은 삼각형이랍니다. 그리고 모서리마다 이미 과일나무가 심어져 있답니다. 전 삼각 모서리에 심어진 나무들로부터 동일한 거리만큼 떨어진 곳에 새로운 나무를 심으려고 했어요. 나중에 나무 우듬지들이 서로 뒤엉키는 걸 원치 않았으니까 말입니다."

어떻게 나무 심는 위치를 알아냈는지를 묻는 건축가의 질문에 대답하려는 여자 정원사의 말에 끼어든 사람은 철도 역무원이었다. "얼마 전에 우리도 이와 비슷한 문제 때문에 골머리를 앓았답니다. 삼각꼴의 선로 안에 원형의 저변을 지닌 전철 통제탑을 세워야 했지요. 삼각형의 각 면에서 동일하게 떨어진 지점에 말입니다." 내가 이 문제에 대해서 뚜렷한 해결책을 얻기도 전에 건축가의 목소리가 들려왔다.

"제가 초안한 전망대의 테라스는 삼각형입니다. 테라스는 얇고 둥근 콘크리트 기둥 위에 놓여 있답니다. 그 기둥 자체가 전망대라고도 할 수 있지요. 물론 테라스는 무게의 중심이 받쳐져야 됩니다. 다시 말해 콘크리트 기둥의 중앙선이 정확하게 삼각형의 중심을 관통해야 하는 거지요. 하지만 삼각형이 부정형이기 때문에 중심을 찾는다는게 여간…."

이에 질세라 농부가 말했다. "저는 삼각적인 유산 분할의 희생자라고 말할 수 있을 겁니다. 저와 사촌 두 명은 각자 농장을 소유하고 있습니다. 여기 스케치한 대로 우리 농장은 삼각형의 모서리에 위치해 있습니다. 삼각형의 각 면에 삼각형의 농장이 동일한 형태와 크기로 이어져 있습니다. 그래서 네 개의 삼각형이 합쳐 하나의 커다란 삼각형을 만들고 있지요. 밖에 놓인 세 개의 삼각형이 비옥한 밀밭인 반면, 안에 놓인 삼각형은 모래와 자갈투성이의 척박한 땅이랍니다.

그런데 문제는 유감스럽게도 우리의 논밭이 모두 농가에서 떨어져 있답니다. 밭에 가기 위해서는 가운데 놓인 삼각형을 지나가야 하지요. 가장 빠른 길을 고르다 보니 교차점에서 종종 마주치는 경우가 생긴답니다. 서로 부딪힐 정도로 혼잡하지는 않지만 누구에게나 자신에게 먼저 갈 수 있는 권리가 있다고 생각하여 늘 문제가 생긴 답니다."

농부의 푸념이 끝나자 삼각 교차각역이 눈앞에 나타났고 네 명의 승객들은 기차에서 내렸다.



두 문장으로



다시 기차가 출발했다. 티롤 풍의 모자를 쓴 젊은이가 소리쳤다. "정말 놀랍군요! 방금 전에 기차에 탔던 네 명의 승객들이 모두 삼각의 교차점을 증명한 셈입니다." 그래서 그는 한 사람씩 네 개의 교차점 원리를 두 개의 문장으로 증명해 보자고 제안했다. 그의 제안에 아내가 먼저 말을 시작했다. "삼각형의 외접원의 중심은 삼각의 모든 각으로부터 동일한 거리에 놓여 있습니다. 따라서 중앙의 수직선은 이 점을 지나야 합니다."

훌륭하다고 감탄을 한 티롤 젊은이가 다음 차례가 되어 전철 장치의 문제를 풀기 시작했다. "삼각형의 내접원의 중심은 삼각의 모든 면에서부터 동일한 거리에 놓여 있습니다. 따라서 삼각의 모든 각을 이등분하는 선은 이 점을 지나야 합니다." 그의 증명 또한 박수갈채를 받았다.

뒤이어 내가 말을 시작했다. "사촌 농부들의 길은 물론 경계를 그은 내면의 삼각의 높이입니다. 그건 농부들이 가장 짧은 길을 선택했기 때문이지요." 티롤 젊은이가 그 길들이 한 점에서 교차한다는 증명은 어떻게 하느냐고 집요하게 물고 늘어졌기 때문에 나는 다음을 덧붙였다. "삼각의 모든 면에서 동일한 형태와 크기를 지닌 삼각을 붙이면 네 개의 삼각이 어우러져 하나의 커다란 삼각을 이룹니다. 원래의 삼각의 높이는 큰 삼각의 중앙 수직선입니다."

이제 수염을 기른 신사의 차례가 되었다. "삼각의 모든 이등분선은 삼각의 중심을 통과합니다. 왜냐하면 면의 이등분선은 모두 삼각을 면의 이등분선과 동일한 회전 모멘트를 지닌 두 개의 부분 삼각으로 나누기 때문입니다."

그의 말에 수학적으로 증명하기보다는 기학적으로 증명해 달라는 티롤 젊은이의 제안이 있었으므로 수염을 기른 신사는 덧붙여 말했다. "모든 삼각은 등변의 삼각과 대응적으로 일그러집니다. 여기서 면의 이등분선과 면의 이등분선이 겹쳐집니다. 하지만 등변의 삼각형에서는 면의 이등분선이 분명히 한 점에서 교차하는 겁니다."

"그런데 대응적으로 일그러진다는 말씀이 무슨 뜻인가요?" 티롤 젊은이의 질문에 수염을 기른 신사는 창가로 다가가서 유리판을 떼어냈다. 그는 펜으로 유리판 위에 삼각형과 다른 도형을 그렸다. 그리고 태양이 유리판을 통과해 비칠 수 있게 밝은 색의 트렁크를 수직으로 세워놓았다. 신사는 트렁크에 나타난 도형의 윤곽을 손가락으로 가리켰다.

"면의 이등분선의 교점은 모든 면의 이등분선을 2대 1의 비율로 분할합니다. 등변의 삼각형에서 이런 사실을 금방 알아낼 수 있답니다. 대응하는 일그러짐에서 길이의 관계는 변하지 않아요." 우리는 그의 설명을 듣고 감탄할 수밖에 없었다.

여행의 두 번째 부분



힐베르트 호텔



우리는 칸토르 주에 도착했고 힐베르트 호텔에서 묵기로 했다. 이 호텔에는 무한히 많은 방들이 있다. 방들은 자연수 1,2,3,4…로 번호가 매겨져 있다(이 때문에 사람들은 가부번적으로 수없이 많은 방들이 있다고 말한다). 모든 방은 1인실로 꾸며져 있고 중간 문을 열기만 하면 옆방과 연결되어 2인실이 되는 것이다. 우리는 방을 얻어 잠시 휴식을 취한 뒤에 로비로 내려갔다.

이때 또 다른 여행객이 호텔에 들어섰는데 프런트 직원은 그에게 빈방이 없다고 말했지만 여행객이 호텔을 떠나려는 순간 지배인이 프런트로 달려와서는 빈방이 있다고 했다. 호텔 지배인은 1번 방에 묵고 있는 손님에게 2번 방으로 옮겨달라고 부탁했다. 2번 방 손님은 3번 방으로, 3번 방 손님은 4번 방으로…. 투숙객들은 지배인의 요청을 받아들였고 1번 방이 비었기 때문에 새로운 손님은 그 방에 들어갈 수 있었다.

잠시 후 40명의 손님을 태운 버스가 도착하자 지배인은 이렇게 했다. 1번 방의 손님은 2번 방으로, 2번 방의 손님은 4번 방으로, 3번 방의 손님은 6번 방으로…. 즉 n번 방의 손님은 2n번 방으로 들어갔다. 그리고 가부번적으로 수없이 많은 손님들이 남은 방인 1,3,5,7…로 들어갔다. 지배인이 가부번적으로 수없이 많은 손님을 태운 가부번적으로 수없이 많은 버스들이 도착하자 승객들을 방에 배치한 방식은 "n번째 버스의 k번째 승객은 (2k-1)2^{n-1}의 번호를 얻는다."는 원칙에 의거한 것이었다.

여행의 세 번째 부분



저승에서



최근에 고대 연구가들이 그리스의 지하세계로 들어가는 입구가 칸토르 주에 있다는 사실을 발견했고 우리는 지하세계를 여행하기로 했다. 그러다가 우리는 거북의 뒤를 쫓고 있는 아킬레스의 환영에 의해 거의 짓밟힐 뻔 했다. 아킬레스는 거북을 따라잡지 못하고 기진맥진한 나머지 경주를 포기하고 말았다. 그리고 지하세계에 거처하는 환영들의 기분전환을 위해 세워진 상점들이 즐비한 대목장으로 갔다.

사격장의 뒷벽에서는 표적이 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이고 있었다. 아킬레스는 과녁을 조준한 뒤에 공기총의 방아쇠를 당기려고 했다. 이때 제논의 환영이 나타났다. "목표물을 맞히려면 목표물이 현재 위치해 있는 바로 그 자리를 조준해야 합니다!"아킬레스는 그의 충고를 받아들여 방아쇠를 당겼지만 총알은 표적의 왼쪽을 관통했다. 그는 계속해서 목표물을 향해 방아쇠를 당겼지만 허사가 되자 기관총도 집어들었지만 그것도 아무 소용이 없었다. 그의 총알은 언제나 다시금 목표물의 왼쪽에 박힐 뿐이었다. 그래서 그는 움직이는 목표물을 맞힌다는 것이 거북을 추월하는 것처럼 불가능하다는 결론에 도달하고 말았다.

그때 소크라테스의 환영이 나타났다. "아킬레스, 사실은 제논이 당신을 속인 겁니다. 만일 당신이 움직이는 목표물을 지금 있는 바로 그 자리에 조준한다면 언제나 표적에서 벗어나게 마련입니다. 탄환이 도달할 때에 목표물이 위치하게 될 지점을 겨냥해야 하는 거지요. 정확한 위치를 산정하기 위해서는 탄환과 목표물의 이동속도를 알아야 합니다. 제논이 입증한 건 움직이는 목표물을 맞힐 수 없다는 사실이 아닙니다. 그는 단지 우리가 지금 보고 있는 지점을 조준하게 되면 결코 목표물을 맞힐 수 없다는 사실을 입증한 셈이지요."

소크라테스의 조언을 받아들인 아킬레스는 곧바로 목표물을 명중시킬 수 있었다. 그런데 그는 거북을 만났고 즉시 거북에게 달리기 경주를 제안했다. 그리고 거북보다 100m 뒤에서 출발했다. 아킬레스는 소크라테스의 방식대로 단숨에 거북을 추월했다. 자유를 만끽한 그는 큰 소리로 웃어젖히고는 우리를 선술집으로 초대했다.

여행의 네 번째 부분



캐시의 혼령



3월 17일, '성 패트릭 기념일'에 히베르니아 수도회의 '존귀한 회원들'이 해마다 참가하는 전통적인 행렬이 예정되어 있었다. 이 단체의 회원인 캐시는 자신이 75년 동안 이 행렬에 빠진 적이 없었는데 이는 지난 해에 캐시가 고령과 폐렴으로 인해 숨을 거두었을 때에도 마찬가지였다.

"히베르니아 수도회의 회원들은 오랜 전통과 관습에 따라 3월 17일에 열 명이 한 열을 이루어 행진했다. 물론 맨 마지막 줄은 아홉 명밖에 되지 않았다. 이전에는 캐시가 왼쪽 다리를 절며 함께 걸었다. 회장은 행렬이 열한 명으로는 나누어지지 않기 때문에 모든 열에 아홉 명씩 배치했다. 그럼에도 불구하고 캐시의 자리는 남아 있었다. 마지막 열에는 여덟 명만 있었기 때문에 행렬을 재정비했다. 즉 각 열에 8명씩, 그 다음에는 7명씩, 6명씩 …. 심지어는 2명씩 나누기도 했다. 하지만 언제나 다시금 캐시의 빈 자리가 남아 있었다.

회원들은 행렬을 끝마친 뒤에 술집에서 다시 만났다. 수도회의 회장은 자신이 잊고 있던 임무가 떠올랐다. 그건 해마다 행렬에 참가한 회원들의 수를 '성 패트릭 행렬'의 장부에 기입하는 일이었다. 그가 알고 있는 건 행렬의 참가자가 7,000명이 넘지 않는다는 사실뿐이었다. 그건 수도회가 더 이상의 회원을 받아들이지 않았기 때문이다. 그러면 7,001명이었을까? 캐시의 혼령을 포함해서 말이다."

우리는 숨을 죽인 채 이 무시무시한 이야기에 귀를 기울였다. 그러고는 수수께끼를 풀기 위해 서로 머리를 맞대기 시작했다.

여행의 마지막 부분



집으로 돌아오는 길에



집으로 돌아오는 여정은 원만하게 진행되었다. 그런데 삼각 교점에서 티롤 젊은이와 수염을 기른 신사 그리고 머릿수건을 두른 기하학 여인이 기차에 올랐다. 우리는 인사를 나눈 뒤에 여행에서의 체험담을 늘어놓기 시작했다.

수염을 기른 신사는 주머니를 뒤적이더니 지름이 35㎝ 가량 되는 원반을 꺼내 들었다. 그것은 케이크 분할기로 이것만 있으면 케이크를 손쉽게 나눌 수 있다고 했다. 케이크를 12조각이나 10조각 아니면 13조각으로 균일하게 나눌 때에는 어떻게 하는 것이냐고 묻자 신사는 그게 문제라고 했다. "단순하게 2배로 나누는 경우를 제외한 가변적인 돌출부를 지닌 케이크 분할기가 필요합니다.

캠퍼스와 자를 가지고 케이크 조각을 동일한 크기로 나누어 봅시다. 캠퍼스와 자를 가지고 원반을 동일한 면적의 n조각으로 나누는 겁니다. 여기서 n은 임의의 양의 정수 혹은 자연수이지요. 일상적인 방사선 형태의 케이크 분할로부터 벗어나서 생각해 보아야 합니다."

그 방법에 대해 티롤 젊은이는 "캠퍼스와 자로 원을 n의 균일한 면적으로 분할할 수 있는 방법을 알고 있습니다. 그건 동일한 면적을 지닌 동심의 원들로 나누는 겁니다. 이 원들의 반경은 쉽게 산정해 낼 수 있지요." 우리는 그의 제안에 동감을 표시하기는 했지만 그리 만족스럽지는 않았다.

훌륭한 생각이기는 하지만 케이크를 자를 때 조각이 부숴지기도 하고 끈적거리기도 할 겁니다. 그럴 때에는 어떻게 분할된 원을 깔끔하게 떼어낼 수 있을까요?" 머릿수건을 두른 여인은 문제를 해결했다고 매우 자랑스러운 표정으로 대답했다. 우리는 그녀에게 해답의 구조를 가르쳐달라고 했고 그녀는 약간 거드름을 피워대더니 얼굴에 미소를 지은 채 설명을 시작했다. 하지만 우리는 독자들에게 그 설명을 보여주지 않기로 의견의 일치를 보았다.

우리는 사발처럼 생긴 골짜기로 내달려 두 개의 터널을 통과했다. 집합 교점 산등성이가 나타났고 기차는 멈추어 섰다. 우리는 기차에서 내린 뒤에 연락처를 주고 받았다. 그리고 조만간에 서로에게 소식을 전하기로 약속했다. 다시금 기차에 올랐고 얼마 뒤 마침내 우리는 고향으로 돌아왔다.

여행의 진지한 부분



유혹



우리는 집에 도착한 후 충분한 휴식을 취했다. 그러고 나서 친구들에게 우리의 여행담을 상세하게 들려 주어야 했다. 이야기를 하다 보니 여행에서 경험했던 이들이 다시금 생생히 되살아났다. 그래서 나는 여행 이야기를 저술하기로 마음먹었다.

내가 여행에서 겪은 일들은 모두 수학과 밀접한 연관이 있었다. 나는 수학적인 이러한 체험들을 어떻게 기술할지에 관해 무척 고심했다. 나는 이것저것 자세히 들여다 보기도 하고 여러 내용을 서로 비교해 보기도 했다. 나는 수학적인 이야기들을 정연하게 늘어놓고 서로의 차이점을 분석해 보았다.

그 결과로 7가지의 유형이 생겨났고, 다시금 2개의 커다란 부류가 형성되었는데 이것은 최초의 방향 설정을 위해서는 매우 유익할 것이다.

예) 1. 특정한 수학적인 핵심을 지닌 이야기들 (1)교훈적인 이야기(삼각 교점, 힐베르트 호텔) (2)이야기 형식의 과제(캐시의 유령, 집으로 돌아오는 길에) (3)대화, 논쟁(라카토스) (4)개별화된 수학(크레머의 시) 2. 수학자와 수학적인 사고에 간한 고찰 (5)수학 이야기(벨, 크르벡) (6)수학적인 사고에 관한 고찰(메슈코프스키, 오테) (7)저명한 시인들의 글(엔첸스베르거, 무질)

수학적인 핵심 내지 수학적인 요점을 담은 이야기



교훈적인 이야기(1)에서는 나의 여행경험 가운데 몇 가지가 언급되고 있다. 여기서는 각각의 특정한 수학적인 실상을 가급적 유머의 형태로 깊이 고찰하도록 유도하고 있다. 즉 서술의 생동감은 수학적인 내용의 중재와 동일하게 중요한 것이다. 그다지 익살스럽지는 않지만 수학 초보자들에게 생동감을 불어넣는 책으로는 티체와 혼스베르거를 꼽을 수 있다. 이들은 아름답고 전형적인 사고방식을 모범적으로 추출하고, 서서적인 단초들을 여기저기 심어놓았다.