선생님, 숫자가 참 좋아요

선생님, 숫자가 참 좋아요

이영직 지음

스마트주니어 / 2011년 3월 / 180쪽 / 9,000원



으라차차, 숫자에 강해지자!



무궁무진한 숫자의 상상력

숫자를 잘 알아도 이것을 사람들에게 적절하게 표현할 줄 모르면 아무 소용이 없습니다. 고사성어 중에 조삼모사(朝三暮四)라는 말이 있습니다. 조(朝)는 아침, 모(暮)는 저녁을 의미하는 한자어에요. 옛날 중국 송나라에 저공이라는 사람이 있었습니다. 그는 원숭이들을 기르고 있었어요. 살림이 어려워지자 그는 원숭이들의 먹이를 줄이기로 했습니다. 그리고 원숭이들에게 이렇게 말했어요. "먹이가 부족하니 너희들에게 주는 도토리를 아침에는 3개, 저녁에는 4개로 줄이겠다." 그러자 원숭이들이 난동을 부렸습니다. 저공은 다시 원숭이들에게 이렇게 말했어요. "그러면 아침에는 4개, 저녁에는 3개로 바꾸겠다." 그러자 원숭이들이 좋아했다고 합니다. 조삼모사는 이 이야기에서 비롯되었어요. 똑같은 7개의 도토리이지만 어떻게 표현하느냐에 따라 느낌이 달라진다는 의미죠. 이 이야기는 상황에 맞게 숫자를 구사할 줄 알아야 한다는 의미로도 읽을 수 있습니다.

이웃나라 일본에서 있었던 일입니다. 야구 경기가 벌어지는 경기장의 직원들이 머리를 싸매고 회의를 하고 있었습니다. 주말에 홈 경기장에서 야구 경기를 하는데, 관중을 모을 좋은 방법이 떠오르질 않았던 것입니다. 홈팀과 상대팀과의 전적은 1승 2무승부였습니다. 그러자 홍보팀 직원이 기발한 아이디어를 냈습니다. 그들은 홍보를 할 때 이렇게 외쳤습니다. "주말에 맞붙을 상대팀과의 경기는 지금까지 3전 무패입니다. 아직 한 번도 진 적이 없습니다. 이번에도 멋진 승부를 구경하십시오!" 그러자 경기장은 만원이 되었다고 합니다. 1승 2무승부나 3전 무패나 같은 말이지만 3전 무패 쪽이 훨씬 더 강하게 느껴지지 않나요? 이것이 숫자의 신비한 매력입니다.

우리나라 모 가전업체의 김치냉장고에는 1124라는 숫자가 찍혀 있습니다. 일 년 중 김장을 하기 가장 좋은 날이 11월 24일이라는 의미입니다. 또 다른 의미로는 그렇게 담근 김치를 그 회사의 김치냉장고에 보관하면 1년, 12달, 4계절 맛있는 김치를 먹을 수 있다는 의미라고 합니다. 일본에서는 333 캠페인이 유행한 적이 있습니다. 333 캠페인은 일본의 모 치약 회사에서 전개한 캠페인인데요, 하루에 3회, 식후 3분 이내에, 3분 동안 양치질을 하자는 캠페인이었습니다. 우리나라에도 CM송으로 유행한 적이 있죠. 이처럼 숫자는 숫자 이상의 의미와 힘을 발휘합니다.

알면 알수록 신기한 수비학

숫자에 신비한 의미를 부여하고 세상사와 관련지어 그것을 연구하는 학문을 수비학(數셈 수, 秘숨길 비, 學배울 학)이라고 부릅니다. 수비학은 숫자와 사람, 장소, 사물 등의 연관성을 연구하는 학문이에요. 성경에는 하나님이 6일 만에 천지를 창조하고 7일째를 휴식을 취하셨다고 기록되어 있습니다. 곧 7은 창조의 완성을 의미하는 숫자입니다. 이와 관련된 '7'이라는 숫자의 신비를 살펴봅시다. 동물의 임신 기간은 대부분 7의 배수로 되어 있습니다. 닭은 7의 3배인 21일, 쥐는 7의 4배인 28일, 고양이는 7의 5배인 35일, 개는 7의 8배인 56일, 사자는 7의 15배인 105일, 양은 7의 21배인 147일, 그리고 사람은 7의 40배인 280일입니다.2010년 8월, 칠레의 광산 붕괴로 매몰됐던 광부 33명이 극적으로 구조되어 세계인들이 환호했습니다. 세간에서는 그 사건과 관련하여 '33'이라는 숫자에 관심을 보이고 있습니다. 우선 매몰된 광부의 숫자가 33명이었습니다. 사고가 일어난 8월 5일은 2010년의 33번째 주였고, 광부 33명 전원이 구조된 날짜는 2010년 10월 13일로 연(10), 월(10), 일(13) 숫자들을 합치면 33이 됩니다. 숫자 속에 무언가 신비한 힘이 있는 것처럼 느껴지지 않나요?

서양에서는 '13'이라는 숫자가 기피의 대상입니다. 예수 최후의 만찬 자리에 참석자가 모두 13명이었으며 13번째 참석자가 바로 예수를 고발한 유다였기 때문이죠. 그리고 예수는 13일 금요일에 죽었습니다. 첨단 과학의 산실인 미 우주항공국 NASA도 13의 미신에서 자유롭지 못합니다. 아폴로 13호는 공교롭게도 13일에 폭발 사고가 나서 탑승한 우주인들이 모두 죽었습니다. 우주선의 고유번호와 사고일자의 수가 13이고, 발사시간도 1시 13분이었습니다. 우연치고는 정말 신기하지 않나요?

이번에는 재미있는 숫자를 보겠습니다. 121, 12321, 1234321, 123454321 등과 같은 숫자를 레이더 숫자라고 부릅니다. 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 숫자가 되기 때문이죠. 그런데 놀랍게도 121은 11과 11을 곱한 값이고, 12321은 111과 111을 곱한 값입니다. 이는 동일한 규칙으로 이어져 12345678987654321은 111111111x111111111를 곱한 값이 됩니다. 이것을 표로 봅시다.

1x1 = 1

11x11 = 121

111x111 = 12321

1111x1111 = 1234321

11111x11111 = 123454321

111111x111111 = 12345654321

1111111x1111111 = 1234567654321

11111111x11111111 = 123456787654321

111111111x111111111 = 12345678987654321



142857이라는 숫자도 재미있습니다. 142857을 두 자리씩 잘라내어 모두 더하면 99가 됩니다. 142857을 세 자리씩 잘라서 더하면 999가 됩니다. 142857에 7을 곱하면 999999가 되고요. 그리고 142857에 1, 2, 3…을 곱해나가면 숫자를 바꾸어가면서 순환됩니다. 순서대로 나열해볼까요?

142857x1 = 142857

142857x2 = 285714

142857x3 = 428571

142857x4 = 571428

142857x5 = 714285

142857x6 = 857142



이처럼 알면 알수록 신기한 것이 숫자의 세계입니다.





세상을 보는 눈, '확률과 통계'



통계를 모르면 눈을 뜨고도 코가 베어요!

세상을 보는 눈을 키우려면 통계를 볼 줄 알아야 합니다. 통계가 얼마나 자의적으로 인용될 수 있는지 광우병 사례에서 찾아볼까요? 2008년 광우병으로 촛불시위가 한창일 때 광우병의 위험을 주장하는 사람들이 인용하던 통계는 '한국인의 94%가 인간 광우병에 걸릴 수 있는 유전자를 가지고 있어 미국과 영국에 비해 광우병에 걸릴 가능성이 2~3배 높다'는 것이었습니다. 광우병의 위험이 거의 없다는 사람들이 인용하는 통계는 '미국 소 1억 마리 중에서 광우병에 걸린 소는 단 3마리였으며 그 중 한 마리는 캐나다에서 들여온 것이다. 미국 소고기의 90%는 미국 내에서 소비되고 있으며, 3억 명이 넘는 미국인들과 250만 재미교포와 유학생들이 먹고 있다. 그렇지만 광우병으로 죽은 사람은 한 사람도 없다'는 내용이었습니다.

두 주장 모두 정확한 통계를 빌린 주장이지만 내용은 정반대로 들리죠? 그로부터 2년이 지난 지금 미국산 소고기의 점유율은 16% 정도로 집계되고 있습니다. 이를 두고 양측은 조금도 양보를 하지 않습니다. 위험하지 않다는 측에서는 광우병 위험이 사실이라면 벌써 광우병에 걸린 사람이 수도 없이 많아야하지만 광우병에 걸린 사람이 아직 없으므로 안전하다고 주장합니다. 이에 대해 반대편 사람들은 미국에서는 매년 6만 명이 치매로 사망하는데, 이들 중 13%가 광우병과 유사한 크로이츠펠트 야곱병을 앓고 있다며 여전히 위험성을 강조하고 있습니다.

대개 통계라고 하면 아주 정확한 것으로 보는 경향이 있습니다. 하지만 수치 자체는 정확해도 통계가 작성된 조건이나 의미를 따지지 않으면 속기 쉽습니다. 신문에 자주 오르내리는 기사 중에 '이혼율 50% 육박'이라는 통계가 있습니다. 이것을 보고 사람들은 '우리나라의 부부 중 절반이 이혼을 하는구나' 하고 생각할 것입니다. 그러나 이 수치는 현실과는 다소 차이가 있습니다.

우리나라 통계에서 정의하는 이혼율은 '한 해에 이혼한 쌍의 수를 같은 해에 결혼한 쌍의 수로 나눈 값'으로 구합니다. 한 해에 1,000쌍이 결혼을 하고 500쌍이 이혼을 한다면 이혼율이 50%라는 이야기이죠. 이때 이혼한 사람들이 언제 결혼했는지는 모릅니다. 10년 전, 20년 전, 30년 전에 결혼한 사람이 이혼하는 경우도 모두 그해 이혼율 통계에 잡히는 것입니다. 그래서 실제 그해 결혼해서 그해 이혼한 경우는 10% 전후인데도 마치 절반 정도나 되는 것처럼 들린다는 것입니다.

숫자에 강한 세무서에서도 통계에 속는 일이 많다고 합니다. 예를 들어 소득세 신고를 할 때 소득을 2,000만 원이라고 신고하면 증빙서류를 떼어 오라고 요구하지만 1,987만 4,500원이라고 신고하면 증빙서류가 거의 면제된다고 합니다. 실제로는 125,500원의 차이일 뿐이지만 증빙서류를 떼는 번거로움을 덜 수 있는 것이죠. 수많은 숫자로 우리를 현혹하는 통계에 속지 맙시다. 그러기 위해서는 숫자에 강해야 합니다.

확률의 사건 삼총사

확률에는 독립사건, 배반사건, 종속사건의 3가지 경우가 있습니다. 동전 던지기를 할 때 앞면이 나올 확률은 2분의 1입니다. 동전 던지기를 10번 한다고 할 때 앞면이 나올 확률은 매번 2분의 1이죠. 앞의 사건에서 전혀 영향을 받지 않는다는 의미입니다. 이처럼 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 미치지 않는 경우를 독립사건이라고 합니다. 주사위를 던져서 1이 나오면 2~6이 나올 가능성은 완전히 사라집니다. 이처럼 한 사건이 일어나면 다른 사건이 일어날 가능성이 없어질 때 이를 배반사건이라고 합니다. 1에서 10까지의 숫자가 적힌 카드가 주머니에 들어 있다고 가정하겠습니다. 카드는 홀수 5장, 짝수 5장으로 모두 10장입니다. 처음에 카드 한 장을 뽑았을 때 홀수 1이 나왔다면 홀수가 적힌 카드는 1, 3, 5, 7, 9인 5개에서 3, 5, 7, 9인 4개로 줄어듭니다. 다시 한 장의 카드를 뽑겠습니다. 이미 1이라는 홀수를 뽑았기 때문에 이때에도 홀수가 나올 확률은 앞의 사건으로부터 영향을 받습니다. 처음 10장 중에서 홀수 카드를 뽑을 확률은 10분의 5이었지만 홀수 한 장을 뽑고 난 다음에는 9분의 4로 줄어든 것이죠. 이처럼 앞의 사건이 뒤의 사건에 영향을 미치는 경우를 종속사건이라고 합니다.

여러분이 좋아하는 축구 이야기를 해볼까요? 한국과 일본의 축구 경기에서 우리나라가 일본을 이길 확률은 2분의 1입니다. 지난 경기에서 이겼다고 해서 이번 경기에서 질 가능성이 높아지는 것도 아니고 반대로 지난 경기에 졌다고 해서 이번엔 이길 가능성이 높아지는 것도 아닙니다. 독립사건이기 때문이죠. 이런 경우에는 다음과 같은 오해를 많이 하게 됩니다. 우리나라가 일본을 상대로 2번 연달아 이겼다면 3번째에는 질 가능성이 아주 높다고 생각하는 것이죠. 즉 일본을 연달아 3번 이길 확률은 상당히 낮습니다. 그래서 3번째 게임에서 우리나라가 이길 확률은 8분의 1, 질 확률은 8분의 7로 보는 것입니다. 하지만 이것은 틀린 해석입니다. 3번째도 일본을 이길 확률은 2분의 1이에요. 각 경기는 개별적인 경기이기 때문이죠. 그러나 확률이 반반인 게임에서 상대방을 3번 잇달아 이길 확률은 여전히 8분의 1입니다. 헷갈리죠?

돈이 번 돈, '이자'



암소 한 마리의 이자는 송아지 한 마리?

가난한 농부가 있습니다. 그는 너무 가난해서 봄이 되어도 파종할 씨앗이 없었어요. 겨울 동안 추위와 굶주림에 씨앗마저 먹어버렸기 때문입니다. 농부는 부자를 찾아가 씨앗을 빌렸습니다. 다행히 농사는 풍년이었습니다. 가을이 되어 농부는 기쁜 마음으로 수확을 했습니다. 그런데 문제가 생겼습니다. 부자에게 빌린 씨앗을 얼마만큼 갚아야 할지 고민이 된 것이죠. 농부는 부자에게 얼만큼의 씨앗을 갚아야 할까요? 빌린 씨앗만큼만 갚으면 될까요? 그것은 예의가 아닐 것입니다. 결국 농부는 빌린 씨앗의 양에다 고마움의 표시로 2배의 씨앗을 더해서 갚았습니다. 왜냐하면 빌린 씨앗의 10배, 100배로 불어났기 때문입니다. 암소 한 마리에 해당되는 돈을 빌렸다고 생각해봅시다. 만약 일 년 후에 돈을 갚는다면 송아지 한 마리의 가격에 해당되는 돈을 얹어서 갚아야 할 것입니다. 왜냐하면 암소는 일 년 동안에 송아지를 낳을 것이기 때문입니다. 자본을 의미하는 영어 단어 'capiut'은 라틴어에서 가축을 의미하는 'caput'에서 유래되었습니다.

경제학적으로 이자는 효용가치로 봅니다. 지금 통장에 있는 100원과 일 년 후에 통장에 있는 100원은 효용가치가 다릅니다. 지금 통장에 있는 100원의 효용가치가 1년 후 통장에 있는 100원보다 큰데요, 그 이유는 1년 동안 쌓이는 이자에 있습니다. 지금 가지고 있는 100원에는 이자가 붙지 않지만 1년 후에는 + 라는 이자가 더해지기 때문이죠. 100원이 있어야 + 라는 이자도 생기겠죠? 그렇기 때문에 지금 가진 100원의 효용가치가 1년 후 통장에 있는 100원의 효용가치보다 더 큰 것입니다.

효용가치

효용가치란 어떤 서비스를 사용하면서 느끼는 만족도를 말합니다. 이자에 대한 유대인들의 사고는 좀 다릅니다. 유대교에서는 가난한 사람들에게 이자를 받지 말라고 가르쳤는데요, 그들은 지금도 상업적인 대출에 대해서만 이자를 받습니다. 유대교에서 돈은 신의 소유물입니다. 지금 돈을 가진 사람은 신의 돈을 잠시 보관하고 있을 뿐이라고 믿고 있죠. 따라서 돈을 벌면 신의 뜻대로 좋은 일에 써야 한다고 생각합니다. 유대인들의 기부 전통은 여기에서 비롯되었습니다.

그렇다면 이자율은 어떻게 결정될까요? 이때는 돈도 하나의 상품으로 보면 간단합니다. 시중에 화폐 공급량이 많아지면 이자율이 내려가고 화폐 공급량이 줄어들면 이자율이 올라갑니다. 반대로 화폐에 대한 수요가 늘어나면 이자율은 올라가고 수요가 줄어들면 이자율이 내려갑니다. 이자율이 오르면 자금에 대한 수요가 줄어들어 소비는 위축되고 저축은 늘어납니다. 꼭 필요한 곳으로만 자금이 모이게 되죠. 효율적으로 배분되는 것입니다. 반대로 이자율이 낮아지면 자금에 대한 수요가 늘어나 소비는 살아나지만 저축은 줄어듭니다. 중앙은행에서는 이자율을 조정하여 투자, 소비, 저축을 조율합니다. 시중에 돈이 너무 많이 풀리면 이자율을 올리고 경기가 침체되면 이자율을 내리는 것이죠.

복리의 마술과 '72의 법칙'

1626년 아메리카 이주민들은 지금의 맨해튼 섬을 인디언들로부터 24달러에 사들였습니다. 그것도 현금으로 매입한 것이 아니라 인디언들이 좋아하는 액세서리나 먹을 것과 교환한 것이었죠. 그때부터 360년이 지난 1986년 맨해튼의 땅값은 25조 달러였습니다. 대략 1천억 배가 오른 것이죠. 이는 24달러를 360년 동안 연 이자율 8% 정도의 복리로 늘린 금액과 같습니다. 24달러를 복리로 늘리면 다음과 같은 공식이 됩니다. 24달러x달러.

만약 복리가 아닌 단리라면 어떻게 계산할까요? 24달러x1.08x360=9,331.2달러가 됩니다. 이처럼 단리와 복리는 기간이 길수록 하늘과 땅만큼의 차이가 나게 됩니다. 이것이 복리의 마술이죠. 복리가 단리보다 훨씬 더 빠르게 증식된다는 것을 알고 있지만 복리의 복잡한 계산 방식 때문에 일반인들이 복리를 이해하기는 쉽지 않습니다. 이에 대한 이해를 돕기 위해 나온 것이 '72의 법칙'입니다. 이 법칙은 복리로 자산을 증식할 경우 원금의 2배가 되는 시점이 언제인가 하는 문제에서 나왔습니다. 즉 72를 이자율(수익률)로 나눈 값이 2배가 되는 시점을 찾은 것인데요, 만약 연리 10%의 복리상품을 샀다면 72 10=7.2년이 됩니다. 곧 7.2년 후에 원금의 2배가 된다는 뜻이죠. 이 법칙을 발견한 것은 기이하게도 물리학자 아인슈타인이었습니다. 아인슈타인은 '복리는 인류의 발명품 중에서 가장 위대한 것'이라며 복리의 위력에 대해 감탄한 바 있죠.