수학박물관

알브레히트 보이텔스파허 지음

행성:B아이들 / 2010년 12월 / 276쪽 / 12,000원

PART1 기초 수학관



언제부터 수를 가지고 계산을 했나요?

처음으로 질서를 갖추어 짜임새 있게 수를 쓴 것은 약 4000년 전 바빌로니아 사람들이야. 이들의 수학은 유프라테스 강과 티그리스 강이 흐르는 메소포타미아에서 발달한 것이지. 오늘날 이 지역은 이라크라는 나라가 들어선 곳이야. 바빌로니아 사람들은 우리가 사용하는 십진법 수와 비슷한 것을 썼어. 다만 10이 아니라 60을 기준으로 삼았어. 다시 말해서 60이 될 때마다 단위가 올라가게 되는 것이지. 이처럼 기초 단위가 되는 수를 기본이 되는 수, 곧 기수라고 불러.



4000년이 지난 오늘날에도 그 흔적은 곳곳에서 찾아볼 수 있지. 가장 분명한 흔적은 시간을 나눈 것이야. 한 시간은 60분이고, 1분은 60초라는 게 바로 그것이야. 그러니까 한 시간은 60X60, 즉 3600초가 되는 거야. 배를 운항하는 선장이 지도 위에 현재 있는 곳을 나타내려고 찍는 좌표에도 60이 들어가 있어. 지구를 원으로 그린 내각의 총합은 360°(6X60)이니까. 어때? 이런 게 4000년이 넘도록 살아남았다니 멋지지 않아?



육십진법을 쓴다는 것은 두 가지 뜻을 가져. 우선 1부터 59까지의 수만 사용하지. 그리고 숫자는 어느 자리에 있느냐에 따라 그 값이 달라져. 예를 들어 5라는 숫자가 마지막 자리, 그러니까 단 단위 자리에 있으면 그냥 5일 뿐이야. 그러나 그 다음 자리가 되면 이야기가 달라지지. 여기에 2가 있다면, 우리가 쓰는 십진법처럼 20이 아니라, 60을 두 번 곱한 값, 즉 120이 되는 거야.



십진법에서 백 단위는 10X10이니까 100이지만, 육십진법에서는 60X60이기 때문에 3600이 돼. 그러니까 이 자리에 3이 있다면, 이는 3600을 세 번 곱해 준 값, 곧 10800이 되는 거야. 예를 들어 육십진법에서 325라고 썼다면, 3에 해당하는 10800(3X3600)에 120(2X60)을 더하고 다시 5를 더해 준 10925를 나타낸 것이야. 이는 정확히 3시간 2분 5초로 나타낸 숫자야.



바빌로니아 사람들은 이런 식으로 더하고 빼고 곱하고 나누는 데 조금도 어려움이 없었어. 바로 우리가 학교에서 배운 것과 똑같이 셈을 할 수 있었던 거야. 다만 아직 바빌로니아 사람들은 한 가지를 몰랐어. 그것은 바로 0이지, 그러니까 그들에게 수는 1부터 59까지만 있었던 거야.



PART2 수의 신비관



왜 2에다 2를 더하면 4가 되나요?

2+2=4가 되는 건 너무나 당연하지! 아니, 둘에다 둘을 더했으면 넷인 것은 당연한 거잖아! 그런데 어째 좀 빤한 소리 같지 않아? 하나마나한 소리인 것 같기도 하고 말이야. 하지만 전혀 그렇지 않아. 수학은 아무리 겉보기에 당연한 것처럼 보일지라도 왜 그런지 물어봐야 해. 다시 말해서 증명을 해야만 맞는 것이라고! 그럼 2+2=4를 어떻게 증명할 수 있을까? 지금부터 증명을 해보자. 약간 까다로우니까 잘 따라와야 해!



2+2=4를 증명하려면 먼저 '페아노 공리'를 조금 자세히 들여다볼 필요가 있어. '페아노 공리'에서 첫 번째 공리는 "최초의 자연수가 있다"는 거야. 이 최초의 자연수는 바로 1이지. 그 다음 공리는 모든 자연수는 그 다음에 나오는 수를 갖는다는 것이지. n 자연수 다음에 오는 수를 n′라고 나타내.

자, 그럼 증명을 시작해 볼까. 2+2=4를 증명하기 위해서는 먼저 2가 뭐고, 4가 무엇이며 '+'가 무얼 뜻하는지 알아야만 해. 그래야 공식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 게 무엇인지 정확히 알 수가 있어. 그럼 왼쪽과 오른쪽이 같은 것인지 확인할 수도 있지.



모든 자연수는 그 다음에 오는 수를 가져. 그러니까 1도 그 다음에 오는 수를 갖겠지. 1 다음에 오는 1′을 우리는 2라고 불러. 2 다음에 오는 2′는 3이라 부르지. 이것을 공식으로 나타내면 이렇게 돼. 3:=2 이다. 이 공식에서 점 두 개(:)는 그게 붙어 있는 수를 정의한다는 뜻이야. 말로 풀면, 3은 2 로 정의한다는 게 위의 공식이야. 마지막으로 우리는 4:=3′이라고 하는 공식을 얻을 수 있어. 3 다음에 오는 4를 3′이라고 정의한다는 말이지. 그럼 앞에서 살펴본 것을 다음과 같이 요약할 수 있어. 4:=3′=(2′)′=((1′)′)′



이제 더해 볼까. 먼저 모든 자연수를 n으로, 'n+1'을 n'으로 나타냈어. 이를 공식으로 쓰면 다음과 같아. n+1=n′ 그럼 n+2이라는 것을 생각하기도 그리 어렵지 않아. n+2는 n+1+1이라고 쓰면 되니까. 이것을 다시 공식으로 나타내 볼게. n+2:=(n+1)′=(n′)′



자, 그럼 공식의 n에 2를 대입해서 아래와 같이 풀어 보는 거야.

2+2=(2+1)′=3′=(2′)′=4



이것으로 2+2=4라는 게 증명이 되었어. 4는 정확히 1의 다음과 그 다음 그리고 또 그 다음에 오는 수야! 그러니까 2+2=4가 맞아!



PART3 도형과 공간 체험관



원과 넓이가 같은 정사각형을 그릴 수 있나요?

동그란 원과 네모난 사각형처럼 서로 어울리지 않는 것도 없어. 심지어 사람들이 "동그라미를 네모로 만들어 봐라" 하는 것은 도저히 이룰 수 없는 불가능한 일을 가리킬 때 쓰는 속담이기도 하지. 같은 넓이를 갖는 원과 정사각형이라는 해묵은 원적문제를 놓고 수학이 2000년이 넘게 도전해온 이유는 어렵기는 하지만, 그만큼 매력적이기 때문이야.



유클리드는 『원론』에서 도형을 그릴 때 오로지 원과 선분만 쓰도록 했어. 유클리드가 선분이라고 할 때 이를 오늘날 우리가 알고 있는 눈금이 새겨진 자라고 생각하면 안 돼. 유클리드의 선분은 오직 두 점 사이를 이어 주는 직선일 뿐이야. 원이라는 것도 주어진 점 하나와 반지름만 가지고 그려야 하는 것이었지. 이처럼 원과 선분만 쓰도록 철저하게 방법을 제한한 것은 다른 수단을 쓰면, 선분(두 점 사이의 최단 거리)과 원(주어진 두 점을 가지고 일정 간격을 유지하는 도형 그리기)의 정의를 해칠 수 있다고 보았기 때문이야.



그러니까 우리의 문제는 선분과 원이라는 방법을 가지고 원과 넓이가 똑같은 정사각형을 그릴 수 있느냐 하는 것이야. 여기서 우리가 주목해야만 하는 것은 두 가지야. 우선, 철저히 '원과 선분'만 이용할 것! 더 나아가 정사각형과 원의 크기는 딱 맞아떨어져야만 한다! 이 두 가지가 우리가 지켜야만 하는 원칙이야. 다른 방법을 써도 안 되고 똑같지 않은 아주 비슷한 근사값을 구하는 것도 안 돼.

원과 넓이가 같은 정사각형을 그릴 수 있는가에 대한 확실한 대답을 얻기까지는 2000년이라는 세월이 걸렸어. 1882년 독일의 수학자 페르디난트 린데만이 "절대 그릴 수 없다!"는 답을 내놓았지. 결국 원적문제는 결코 풀리지 않는 것으로 결판이 난 거야!



이처럼 확실한 답을 얻어내기 위해서는 먼저 해석기하학으로 넘어가야만 했어. 도형을 그리는 작도의 문제를 구체적인 수의 값으로 풀어보는 게 해석기하학이지. 이렇게 바꾸어 보면 문제의 초점은 정확히 원주율 π에 맞춰져. 린데만은 이 π가 초월수라는 사실을 밝혀냈어. 초월이라는 말은 넘어가 있다는 뜻이지. 즉, 우리가 풀 수 있는 한계를 넘어간 게 초월수야. 다시 말해서 그 어떤 식을 동원해도 π라는 답은 구해지지 않아. 이로써 넓이가 같은 원과 정사각형이라는 문제는 풀 수 없는 것으로 확실하게 결판이 난 것이지.



원주율 π는 언제나 수학자들을 열광시켜 온 신비한 수야. 아르키메데스는 처음으로 π의 정확한 값을 구할 수 없다고 생각을 한 수학자란다. 그러나 그는 π의 정확한 값을 구하려는 시도를 하지 않고, 대략 이 정도일 것이다 하는 추측만 내놨어. 다시 말해서 π는 3+10/71(=3.1408)과3+1/7(=3.1429)사이의 어딘가에 위치하는 값을 갖는 것만큼은 보장할 수 있다고 했지.

이후 수학자들은 저마다 소수점 이하 더 많은 자리를 갖는 π의 값을 구하려고 열을 올렸어. 현재 세계 최고의 기록은 일본의 쓰쿠바 대학교 팀이 계산해 낸 거야. 이들은 2009년 8월 π를 정확히 소수점 이하 2,576,980,377,524 자리까지 계산해 냈어!



말이 나온 김에 덧붙이자면 π의 값은 절대 끝나지 않고 이어지며, 어떤 규칙적인 값을 되풀이해서 보여 주는 순환소수도 아니야. 말 그대로 순환하지 않는 무한소수가 π이지. 요한 하인리히 람베르트라는 스위스 출신의 수학자가 밝혀냈듯 π는 무리수야. 계속해서 새로운 숫자가 따라붙고, 그때마다 사람들은 탄성을 지르곤 하지.



PART4 공식 탐구관



2천년 전에 1유로를 저금했다면 지금 그 돈은 얼마나 될까요?

예수 그리스도가 살았던 시대, 그러니까 지금으로부터 2000년 전 어느 크리스마스에 우리가 1유로(약 1,400원)를 저금했다면 지금 그 가치는 얼마나 될까? 이자율은 고작 2% 정도밖에 안 되는 형편없는 수준이라고 하자. 첫 해에는 1유로에 이자 2센트가 붙었어. 그래서 연말에 저금한 돈은 이자가 붙어 1유로 2센트가 되었지.



2년째에는 1유로에만 아니라 이자로 받았던 2센트에도 다시 이자가 붙었어. 전부 2.04센트의 이자가 붙은 거지. 이제 예금액은 모두 1유로 4.04센트가 됐어. 그까짓 게 얼마나 되겠냐고 생각하는 사람이 있다면 큰 착각을 하고 있는 거야. 이자에 다시 이자가 붙어나가는 게 얼마나 엄청난지 몰라서 그래. 아무튼 매년 이자가 불어가면서 저금액도 늘어가겠지.



사실 초반에 이자는 무시해도 될 정도밖에 안 돼. 10년 뒤에 액수는 1유로 22센트가 되니까. 그러나 백 년 뒤에 이 돈은 7유로 24센트로 불어나. 물론 백 년을 기다렸는데 고작 그거야 하며 실망할 수도 있겠지. 그렇지만 벌써 일곱 배가 넘어버린 거야! 그리고 여기에는 엄청난 폭발력이 숨어 있어. 200년 뒤에는 52유로, 300년 뒤에는 380유로 하는 식으로 슬슬 발동이 걸리기 시작해. 500년이 넘으면 약 이십만 유로에 가까운 돈이 쌓여. 700년 뒤에는 백만 유로가 되지. 드디어 천 년의 문턱을 넘어섰어. 이제 액수는 거의 4백만 유로로 치솟게 돼. 콜럼버스와 구텐베르크가 활동하던 서기 1500년 무렵에 이르면 돈의 총액은 8조 유로(약 1경2천5백조 원)라는 어마어마한 수치로 불어나. 드디어 2000년을 넘겼어. 그럼 처음에 출발했던 돈은 이제 15경8천조 유로가 돼!



이 계산을 하는 것은 간단해. 원금에 2% 이자율이 붙는다고 한다면 1.02에 돈을 저금해둔 햇수만큼 제곱을 하는 거야. 이 수치를 원금에 곱하면 현재 총액이 얼마인지 알 수 있지. 이처럼 간단한 데도 사람들은 믿으려 하지를 않아. 거꾸로도 사정은 마찬가지야. 빚을 져도 늘어나는 속도는 똑같아! 아니, 빚이 불어가는 게 더 빠르게 느껴질 걸! 예수가 탄생했을 당시 1유로의 빚을 졌고, 그 이자를 단 한 차례도 갚지 않았다면, 지금 갚아야 할 빚의 총액은 몇 십 경에 달할 거야!



PART5 확률 실험관



로또에서 숫자 6개를 정확히 맞출 확률은 얼마나 되나요?

로또 광고를 보면 말은 참 쉬워. 여섯 개의 번호를 고르세요, 토요일에 추첨한 번호와 다 맞으면 엄청난 상금이 당신을 기다립니다. 추첨한 여섯 개의 번호는 1, 2, 3,……, 45라는 45개 번호의 전체 집합에서 '여섯 개 번호로 이뤄진 부분 집합' 가운데 하나야. 그러니까 우리의 궁금증을 풀 수 있는 답을 찾으려면 그런 부분 집합이 몇 개나 되는지 알아봐야 하겠지.



먼저 어떤 번호가 나올 가능성이 얼마나 되나 계산해 봐야 해. 번호가 적힌 첫 번째 공은 45개 가운데 하나야. 그럼 일단 뽑힌 공은 빠지니까, 두 번째 공은 44개 가운데 하나가 되겠지. 세 번째 공은 43개, 네 번째는 42개, 다섯 번째는 41개, 그리고 마지막으로 여섯 번째 공은 40개 가운데 하나가 되어야 해. 경우의 수를 구하려면 이 값을 모두 곱해야 해. 그러니까 45X44X43X42X41X40의 답이 가능한 경우의 수야.



예를 들어 번호가 적힌 다음 여섯 개의 공이 투명한 추첨기계에서 차례로 뽑혔다고 하자.

19, 34, 9, 41, 38, 32!



이제 우리는 수를 크기 순서대로 정리를 해야 돼. 이렇게 차례로 늘어놓으면 당첨 번호는 9-19-32-34-38-41이 되겠지. 이제 여섯 개의 번호가 어떤 순서로든 나오게 될 경우의 수를 알아봐야 해. 그럼 어떤 것이든 첫 번째 자리에 올 경우는 여섯 가지겠지. 두 번째 자리에는 다섯 개의 번호 가운데 어느 하나가 차지할 거야. 이런 식으로 그 경우의 수를 계산하면 6X5X4X3X2X1이 위의 여섯 개 번호가 어떤 순서로든 나올 모든 경우가 될 거야.



이제 남은 일은 위에서 했던 두 가지 계산을 하나로 정리하는 거야. 모든 가능한 경우의 수인 45X44X43X42X41X40의 값을 위의 여섯 개 번호가 뒤섞여 있을 수 있는 경우의 수 6X5X4X3X2X1의 값으로 나눠 주면 답은 8,145,060이 나와. 결국 이 많은 경우의 수 가운데 하나를 골라잡아야 로또에 당첨이 되는 거야. 다시 말해서 로또에 당첨될 확률은 1을 8,145,060으로 나누어 준 값은 약 0.0000001228, 즉 약 0.00001228%야! 0.00001%가 조금 넘는 확률을 기대하고 로또를 하는 것은 돈을 내다버리는 일이 아닐까! 물론 로또를 사서 혹시 당첨이 되지 않을까 하는 기대감을 품는 것은 재미있겠지. 하지만 로또로는 절대 돈을 벌 수 없어!



PART6 함수 전시관



아킬레우스는 거북이를 따라잡을 수 있을까요?

아킬레우스와 거북이의 경주 이야기는 고대 그리스의 장난꾸러기 철학자 제논이 지어낸 거야. 엘레아에서 태어나 엘레아의 제논이라고도 불리는 그는 운동경기에 빗대 묘한 역설을 선보였어. 워낙 운동을 좋아한 고대 그리스 사람들은 달리기라면 자신이 최고라고 우쭐대던 아킬레우스가 느림보 거북이를 따라잡지 못한다는 소문을 듣고 배꼽을 잡고 웃었지.



그리스 사람들이 달리기 시합을 하는 방식은 오늘날 우리가 토너먼트라고 부르는 방식과 같아. 두 명이 시합을 벌여 이기는 사람은 계속 올라가고, 진 사람은 떨어져서 구경만 해야 하는 식이었어. 그런데 하필 1회전에서 아킬레우스와 거북이가 맞붙었다는 거야. 거북이가 질 것이 뻔하잖아. 그래서 거북이는 시합을 하기 전에 아킬레우스를 찾아가서 뻔뻔하게도 이런 부탁을 했대.



"너는 최고의 달리기 선수잖아. 너하고 나하고 똑같은 조건에서 달린다는 것은 말도 안 돼. 그러니까 내가 백 미터 앞서 먼저 달리면 안 될까?" 아킬레우스는 껄껄 웃으며 승낙했어. "까짓 거 그러려무나. 그 정도 따라잡는 거야 식은 죽 먹기지!" 그런데 거북이는 아킬레우스의 약을 올리려고 이렇게 종알거렸어. "쉽지 않을 텐데. 네가 백 미터를 따라잡는 동안 나라고 가만히 서 있는 건 아니잖아. 네가 따라오는 동안 나도 십 미터는 갔을 걸. 그럼 나는 여전히 너보다 앞서 있는 거지, 안 그래?"

"뭐 십 미터? 그까짓 거야 한 걸음이면 충분히 따라잡아!" 거북이는 조금도 물러서지 않고 아킬레우스