수학탐정 매키와 누팡의 대결 3
정완상 지음 | 두리미디어
수학탐정 매키와 누팡의 대결 3 : 문자와 식
정완상 지음
두리미디어 / 2007년 12월 / 176쪽 / 8,800원
사라진 노란 다이아몬드 - 무게 비교 갑자기 포터 형사가 경찰서 안으로 허둥지둥 들어오며 소리쳤다. "경감님! 큰일 났습니다. 주얼리 씨의 집에 도둑이 들어서 200캐럿짜리 노란 다이아몬드가 없어졌다고 합니다." 주저브 경감은 놀라서 외쳤다. "뭐라고? 200캐럿?" "네." "일단 현장으로 출동해야겠군!" 주저브 경감과 포터 형사는 주얼리 씨의 저택으로 달려갔다. "주얼리 씨! 언제 보석이 없어졌다는 걸 알았습니까?" "어제 파티가 끝나고 집 안으로 들어와 상자를 열어 보았는데 내 다이아몬드가 감쪽같이 없어졌어요."
주얼리 씨의 설명은 다음과 같았다. 얼마 전, 주얼리 씨는 엄청난 돈을 주고 200캐럿의 노란 다이아몬드를 구입했는데, 주변 사람들이 세상에서 하나뿐인 노란 다이아몬드를 한번 보게 해달라고 하도 졸라서 결국 다이아몬드를 공개하는 파티를 열기로 했다. 파티 날 사람들 앞에서 주얼리 씨는 황금 상자를 들고 나와서 뚜껑을 열었다. 그런데 상자 속에는 9개의 노란 다이아몬드가 있었고, 사람들을 향해 주얼리 씨가 말했다. "여기 9개의 노란 다이아몬드 중 진짜는 하나입니다. 바로 이것인데 가짜보다 무겁습니다." 주얼리 씨는 9개의 노란 다이아몬드 중에 하나를 들어 올렸다가 다시 황금 상자에 넣고 테이블 위에 올려놓았다. 그런데 순간 감자기 정전이 되었다가 10초 뒤에 다시 불이 켜졌다.
"경감님, 이것이 그 파티가 있던 날의 이야기입니다." 이야기를 들은 주저브 경감은 그 대단한 범인이 누구일까 한참을 고민했다. 포터 형사는 매키에게 전화를 걸어 도움을 청했고, 주얼리 씨 집으로 온 매키는 포터 형사의 설명을 듣고 다이아몬드 파티의 방명록을 보여 달라고 했다. 매키는 방명록을 유심히 살펴보다가 말했다. "몽블라? 향수 제조 회사로 유명한 '퍼퓸 드 앙쥬'의 회장? 며칠 전 뉴스에서 해외 향수 박람회에서 한 인터뷰를 본 것 같은데……? 음, 사람들이 몽블라 씨로 착각할 정도로 완벽한 변장을 할 수 있는 사람은 누팡밖에 없어요. 게다가 누팡은 항상 양팔 저울을 가지고 다닌다니까 범인은 누팡일 거예요! 9개 중 무게가 다른 하나는 양팔 저울 두 번만 이용하면 찾아낼 수 있어요." 주저브 경감과 포터 형사는 매키의 말을 듣고 도저히 이해할 수 없다는 표정을 지었다.
수학으로 범인 찾기어떻게 양팔 저울을 두 번만 이용해서 아홉 개의 다이아몬드 중 무게가 다른 하나를 찾아낼 수 있었을까? 먼저 다이아몬드 중 아무거나 택해 세 개씩 저울의 양쪽에 올려놓는다. 이때 저울이 한쪽으로 기울면 그 쪽에 진짜 다이아몬드가 있는 것이므로, 그 세 개 중 두 개를 골라 다시 저울에 달아 본다. 이때 저울이 한쪽으로 기울면 그것이 진짜 다이아몬드이고, 저울이 수평을 이루면 남아 있는 하나가 진짜 다이아몬드다. 그리고 처음에 세 개씩 올려놓았을 때 저울이 수평을 이루면 올려놓지 않은 세 개의 다이아몬드 중 하나가 진짜 다이아몬드이므로, 나머지 세 개 중 두 개를 골라 저울에 올려놓은 다음 저울이 한 쪽으로 기울면 그것이 바로 진짜 다이아몬드이고, 저울이 수평을 이루면 남아 있는 하나가 진짜 다아이몬드이다. 그러니까 10초면 다이아몬드를 훔치기에 충분한 시간인 것이다.
단지 폭탄을 막아라! - 거꾸로 풀기어느 날, 주저브 경감에게 소포가 배달됐다. 소포는 조그만 상자였는데 안에는 A, B, C라고 쓰여 있는 세 개의 단지와 시계 그리고 편지가 있었다. 상자를 열자 시계는 '째깍째깍' 소리를 내며 움직이기 시작했고, 편지의 내용은 이러했다. '지금 보낸 시계는 시한폭탄이다. 상자의 뚜껑을 여는 순간부터 작동이 되지. A에서 B의 수만큼 B로 옮기고, B에서 C의 수만큼 C로 옮기고, C에서 A의 수만큼 A로 옮긴 결과 각 단지에는 각각 16개의 구슬이 있다. 이 단지의 구슬의 수를 처음 상태로 만들어라. 5분 안에 해결하지 못하면 폭탄이 터질 것이다. - 누팡' 주저브 경감은 온몸에 소름이 돋았다. 그때 매키와 포터 형사가 함께 사무실로 들어왔다. 이제 남은 시간은 3분 50초. 뭔가 이상한 낌새를 알아차린 매키는 얼음처럼 굳어 있는 주저브 경감의 손에 들려 있던 편지를 읽었다. 시간은 점점 흘러 이제 남은 시간은 1분! "알았어요! 이건 간단한 문제예요." 매키는 소리쳤다. 그리고 매키가 세 단지의 구슬을 다시 배치하자 시한폭탄의 째깍거리는 소리가 멈췄다.
수학으로 범인 찾기매키는 누팡의 암호를 어떻게 풀었을까? 거꾸로 풀어보면 문제가 해결된다. 마지막 상태에 각 단지에 있는 구슬의 수는 A-16, B-16, C-16이다. C에 들어 있는 구슬의 개수는 A에 있던 구슬의 수만큼 C에서 A로 옮겼으니까 원래 A에 들어 있던 구슬의 개수는 16의 절반인 8개다. 그러니까 각 단지에 들어 있는 구슬의 개수는 A-8, B-16, C-24이다. 이 상태는 B에서 C에 있던 구슬의 수만큼 C로 옮긴 후가 되니까 원래 C에 들어 있던 구슬의 개수는 지금 들어 있는 구슬 개수의 절반이다. 그러니까 세 단지에 들어 있는 구슬은 A-8, B-28, C-12이다. 이것은 A에서 B에 들어 있던 구슬의 수만큼 B로 옮긴 후이므로 원래 B에 들어 있던 구슬의 수는 지금 들어 있는 구슬의 절반이다. 그러니까 처음 세 단지에 들어 있던 구슬의 개수는 각각 A-22, B-14, C-12이다.
럭셔리 워치 도난 사건 - 늦게 가는 시계"시계 도난 사건입니다!" 주저브 경감과 포터 형사는 시내에 있는 '럭셔리 워치'라는 시계 가게로 향했다. '럭셔리 워치'는 시계 하나에 1백만 달란이 넘는 고가의 시계를 파는 유명한 가게였다. 가게 주인 밀러 씨는 주저브 경감에게 사건의 정황을 설명했다. "어젯밤이었어요. 손님이 거의 없었고 저는 게임에 열중하고 있었는데, 갑자기 검은 복면을 쓴 사람이 저의 얼굴을 무언가로 내리쳤어요. 그때 순간 정신을 잃었고, 정신을 차리고 보니 가게에서 가장 비싼 다이아몬드 시계가 없어졌어요." "매장에 감시카메라는 설치되어 있죠?" "그게…. 안 그래도 확인을 해 봤지만 얼굴은 보이지 않더군요. 하지만 저희는 주로 회원 분들만 오시기 때문에 매장에 들어올 때는 회원 전용 카드를 이용해 문을 열고 들어올 수 있으니 그게 단서가 되지 않을까요?"
그때 포터 형사가 뭔가를 가지고 왔다. "경감님, 여기 카드 단말기 기록부와 깨진 시계를 가져왔습니다." 바닥에 떨어져 깨진 시계는 11시를 가리키고 있었다. "음, 이 세 사람 중에 범인이 있단 말이군. 한 명은 11시에 온 사람, 두 번째는 11시 30분에 온 사람, 세 번째는 12시에 온 사람이군! 그럼 깨진 시계가 11시를 가리키고 있으니 11시에 온 사람이 범인이야!" 그때 주인이 말했다. "저, 경감님, 그 시계는 고장이 난 시계예요. 한 시간에 5분씩 느리게 가서 그 날 낮 12시에 정확한 시계와 맞춰놓았었죠." 고민하던 주저브 경감은 포터 형사에게 매키를 부르라고 말했다. 포터 형사는 매키의 학교로 가서 수업이 끝나고 나오는 매키를 데리고 왔다. 사건의 이야기를 들은 매키는 잠시 동안 가만히 생각에 잠겼다가 곧 환하게 웃으며 말했다. "범인을 알아냈어요!"
수학으로 범인 찾기시계가 5분씩 늦게 가므로, 정확한 시계와 늦게 가는 시계의 시간을 비교하면 된다. 늦게 가는 시계를 A라고 하고, 정확한 시계를 B라 하면, B의 시간을 맞춘 12시부터 시작하여 A가 12시 55분일 때 B는 1시, A가 1시 50분일 때 B는 2시, 이런 식으로 해서 A가 9시 10분일 때 B는 10시, A가 10시 5분일 때 B는 11시, A가 11시일 때 B는 12시가 된다. 따라서 5분씩 느리게 가는 시계가 11시를 가리키면 실제 시각은 12시이므로 12시에 온 사람이 범인이다.
공사장의 영수증 - 연립방정식 2새로운 아파트 공사가 한창이던 로고스 시 외곽의 공사 현장에 주저브 경감과 포터 형사가 출동했다. 아파트 공사 현장 중에 17동 공사 현장에서 공사 후 남은 건축 자재를 도난당했다는 신고가 접수되었기 때문이다. 주저브 경감은 연락을 받고 달려온 매키와 함께 현장을 이곳저곳 둘러보았다. "경감님! 이것 좀 보십시오." 포터 형사가 종잇조각을 내밀었다. "현장에 떨어져 있던 영수증입니다." 영수증에는 15만 달란의 임금을 지불했다는 아파트 관리공단의 도장이 찍혀 있었지만 어느 현장에서 일한 누구의 영수증인지는 알 수 없었다. 주저브 경감이 17동 관리반장에게 물었더니, 일꾼들의 임금은 각자의 일이 끝나는 순간 그동안 일한 대금을 하루에 1만 달란씩 쳐서 한꺼번에 지급하고, 어제는 17동 현장에서 일을 끝마친 여섯 명에게 일당이 지급되었다고 했다.
경감은 주인에게 또 물었다. "그렇다면 이 영수증의 주인공은 15일 동안 일한 사람인데, 17동 아파트 현장에서 일한 사람은 몇 명입니까?" "8명입니다." "아까는 여섯 명이라고 하지 않으셨나요?" "원래 아파트 17동의 작업은 8명이 20일 정도 일하면 완성되는 일이지요. 그런데 8명 중 2명이 중간에 그만두고 남은 6명이 일을 하게 되어 예정보다 긴 24일이 걸렸지요." "도중에 그만둔 두 사람은 며칠 동안 일했지요?" "글쎄요. 알 수가 없군요. 두 사람은 같은 날 그만두었고 그날 임금을 받아 갔습니다." "그렇다면 이 영수증은 중간에 그만둔 두 사람 중 한 사람의 것일 가능성이 높아요. 다른 6명의 경우는 24일 동안 일한 것이 분명하니까요."
그때 계속 생각 중이던 매키가 말했다. "잠깐만요, 경감님. 도중에 그만둔 두 사람은 범인이 아니에요." "어떻게 확신하지?" "관리 반장님의 말대로 8명이 20일 정도 일하면 완성되는 일이었는데 8명 중 2명이 중간에 그만두고 남은 6명만 일을 하게 되었다면, 이들 중에 15일 동안 일을 한 사람은 아무도 없어요. 그러니까 이번 사건은 다른 동에서 작업한 사람들까지 모두 포함하여 15일 동안 일한 사람을 찾아야 해요."
수학으로 범인 찾기매키는 왜 17동의 일꾼들 중에 범인이 없다고 단정했을까? 이 공사는 8명이 20일 걸리는 일이므로 전체 일의 양을 1이라고 두면 한 사람이 하루에 하는 일의 양은 1/(8x20) = 1/160이 된다. 8명이 함께 일한 날수를 X라고 하고 두 사람이 그만둔 후, 6명이 일한 날수를 Y라고 하면 전체 일을 한 날수가 24일이니까 X + Y = 24라는 식이 만들어진다. 그리고 한 사람이 하루에 하는 일의 양이 1/160이니까 이 기간 동안 한 일의 양이 1이 되려면 8 x X x 1/160 + 6 x Y x 1/160 = 1의 식이 성립한다. 그러므로 위 두 식에서 X, Y를 구하면 X = 8, Y = 16이 된다. 즉 8명이 6일 동안 일하다가 나중에는 6명이 16일 동안 일했으므로 8명의 일꾼 중 두 명은 6일 동안 일했고 6명은 24일 동안 일한 셈이 되어 이 공사 현장에서 15일을 일한 사람은 없다.
요리법 노트 도난 사건 - 추를 사용해 무게 재기유명 요리사 레시 씨가 잔뜩 화가 난 얼굴로 경찰서에 왔다. "괴짜 요리사 롤리 씨를 고소하겠어요. 그 사람은 내가 요리 공모전에 출품하려고 했던 작품을 훔쳐갔어요!" 롤리 씨라면 최근 새로운 요리를 발표해서 엄청나게 유명해진 요리사였다. 만약 레시 씨의 말이 사실이라면 정말 큰 문제였다. 포터 형사가 물었다. "레시 씨, 무슨 근거로 롤리 씨가 요리 비법을 훔쳤다는 거죠?" "한 달 전에 롤리가 저를 찾아왔어요. 저는 그때 요리를 개발하고 있었는데, 15가지 재료를 각각 1g부터 15g까지 차례로 섞어서 만드는 환상의 요리였죠! 그런데 롤리가 양팔저울과 1gㆍ2gㆍ4gㆍ8g의 추를 이용해서 요리 재료 중 일부를 가지고 가겠다고 했어요. 저는 어차피 알려 줘도 저의 환상의 요리는 만들 수 없다고 여겨서 흔쾌히 허락했죠. 그런데 공모전 바로 전날 롤리가 그 환상의 요리를 먼저 발표한 거예요." 포터 형사와 주저브 경감은 일단 롤리 씨를 경찰서로 불러들여서 조사하기로 했다.
경찰서로 불려 온 롤리 씨에게 주저브 경감이 물었다. "롤리 씨, 이번에 발표하신'스위트 드림'이라는 요리가 레시 씨의 요리를 훔친 거라고 하는데 사실입니까?" "아니요. 저는 정식으로 레시 씨의 허락을 받고 요리를 했습니다. 전 단지 빨리 발표한 것뿐이에요." 한쪽에서 듣고 있던 레시가 화가 나서 말했다. "이봐! 롤리! 내 요리를 훔쳐서 발표해 놓고 이제 와서 뭐라고?" 주저브 경감과 포터 형사는 어찌해야 할지 몰라 고민하고 있는데, 마침 매키가 경찰서로 들어왔다.
심각한 분위기를 느낀 매키는 포터 형사에게 물어 사건의 경위를 듣고는 곰곰이 생각을 하기 시작했다. "아하! 롤리 씨는 레시 씨의 요리 비법 노트를 훔치지 않았어요." 사람들은 어리둥절해졌다. 주저브 경감은 매키를 재촉했다. "매키야! 무슨 소리야? 어서 말해봐!" "그러니까 롤리 씨가 양팔 저울과 4개의 추를 사용해서 요리의 비법을 알아냈다는 건 사실이에요. 그걸 허락한 레시 씨의 잘못이죠! 롤리 씨는 양팔 저울과 1gㆍ2gㆍ4gㆍ8g의 추를 사용해서 1g부터 15g까지 잴 수 있었을 거예요, 그렇죠?" 롤리 씨는 고개를 끄덕였지만 레시와 다른 사람들은 알 수 없는 표정을 지었다.
수학으로 범인 찾기롤리는 어떻게 해서 양팔저울과 1gㆍ2gㆍ4gㆍ8g의 추만으로 1g에서 15g까지 무게를 잴 수 있었을까? 1부터 15까지의 수는 다음과 같이 1, 2, 4, 8만을 이용한 덧셈으로 바꿀 수 있다. 1 = 1, 2 = 2, 3 = 1 + 2, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 8, 9 = 1 + 8, 10 = 2 + 8, 11 = 1 + 2 + 8, 12 = 4 + 8, 13 = 1 + 4 + 8, 14 = 2 + 4 + 8, 15 = 1 + 2 + 4 + 8 따라서 1g부터 15g까지의 무게를 간단히 잴 수 있다.