삼국지와 게임이론

삼국지와 게임이론

자오융 지음

한스미디어 / 2009년 10월 / 430쪽 / 13,500원



게임이론에 대한 기본 지식

게임이론이란 여러 명의 이성적인 주체(경기자)가 서로 영향을 미치고 상호 작용을 가하면서 어떤 전략을 결정하는 과정을 의미한다. 게임은 경기자가 서로 영향을 주고받는 전략 결정의 과정이기 때문에 경기자는 자신의 전략만을 고려하는 것만으로는 부족하며 반드시 자신의 전략과 다른 경기자의 전략을 함께 고려해야 한다. 경제학에서는 공급곡선과 수요곡선이 서로 교차되는 지점에서 균형이 이루어지지만 게임이론에서는 모든 경기자에게 가장 우월한 전략이 바로 균형이 되며 이것은 전략의 모든 조합 가운데 하나가 될 수도 있고 여러 개가 될 수도 있다. 각 경기자들은 다른 경기자들이 모두 자신에게 가장 우월한 전략을 선택하는 상황에서 자신에게 가장 우월한 전략을 선택해야 하는데 모든 경기자에게 가장 우월한 전략의 조합이 바로 균형이며 각 경기자들은 이러한 균형 상태를 깨뜨리려 하지 않는다. 이것을 내쉬균형(노벨경제학 수상자 존 내쉬가 최초로 제기)이라고 한다.

게임이론의 유명한 사례 중 하나인 죄수의 딜레마를 통해 게임이론을 살펴보자. 한 도시에서 범죄사건이 발생했다. 경찰은 범죄현장에서 발견한 작은 단서를 토대로 두 명의 용의자를 체포했다. 지금까지 밝혀진 증거만으로는 이들 두 명의 범죄 사실을 입증할 수 없지만, 또 다른 용의자를 찾아낼 수도 없는 상황이다. 경찰은 이들 두 명을 유치장에 각각 격리시켜 수감시킨 후 개별적으로 심문하기로 했다. 심문을 시작하기 전, 경찰은 두 사람 모두에게 자백하면 석방하겠지만, 자백하지 않으면 엄격하게 법에 따라 처벌하겠다고 엄포를 놓은 뒤 다음과 같은 구체적인 조건을 내걸었다.

첫째, 만약 둘 중 한 명이라도 순순히 범행을 자백한다면 두 사람 모두 혐의가 인정되지만, 자백한 사람은 죄를 사면해 석방하고, 자백하지 않은 사람은 최대 10년의 징역형에 처한다. 둘째, 만약 두 사람 모두 자백한다면 두 사람 모두 혐의가 인정되지만, 범행을 자백한 정상을 참작해 두 사람 모두 5년 징역형을 4년 징역형으로 감면받을 수 있다. 물론 경찰이 바라지 않는 또 하나의 경우의 수가 있다. 바로 두 사람 모두 자백을 거부하고, 더 이상의 증거도 발견되지 않아 혐의 사실을 입증할 수 없는 경우이다. 이렇게 되면 용의자 두 명을 모두 풀어주어야 한다.

첫 번째 심문이 끝나고 유치장으로 돌아간 두 명의 용의자는 자백할 것이냐, 자백하지 않을 것이냐 하는 선택의 기로에서 고민하기 시작한다. 두 가지 중 반드시 하나는 선택해야 한다. 이 게임은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.

옆의 그림을 살펴보면, 다른 용의자가 자백을 하든, 자백을 하지 않든, '나'는 자백하는 것이 자백하지 않는 것보다 낫다. 다시 말해, '자백'이 두 명의 경기자에게 공통된 우월전략이다. 그러므로 두 명의 경기자 모두 '자백'을 선택하는 [자백, 자백]의 전략조합이 이 게임의 내쉬균형이 되며, 그 결과 사건은 해결되고 용의자 A와 B 모두 구속된다.

유비 관우 장비의 도원결의_ '비우비 기업'의 출범

동한 영제가 즉위한 후 천재지변이 잇따라 발생하고 조정에서는 10명의 환관(십상시)들이 권력을 장악하고 조정을 쥐락펴락했다. 민생이 도탄에 빠진 상황에서 황건군의 난까지 일어났다. 유주태수 유언이 황건군 진압을 위해 의병을 모집한다는 방을 붙인 것을 계기로 도원결의의 이야기가 시작된다. 28년간 허송세월하며 이렇다 할 포부도 이루지 못한 유비는 의병을 모집한다는 방을 보고 긴 한숨을 내쉰다. 그런데 이 한숨이 장비의 관심을 끌게 될 줄이야. 장비는 조상 대대로 탁군에 살면서 넓은 농지를 갖고 있었고 천하의 호걸들과 왕래하기를 좋아하는 인물이었다.

한쪽은 한나라 왕실의 종친으로 대업을 이루겠다는 포부는 있었으나 그럴 능력이 없었고, 다른 한쪽은 다년간 농사를 지어 제법 돈을 모은 후 기업의 발전방향을 바꿔보려는 계획을 세우고 있었다. 이런 두 사람이 만나자마자 의기투합한 것은 당연한 일이었다. 여기에 또 나타난 것이 위풍당당한 관우였다. 정치적 지위도, 경제적 기반도 전무한 관우가 유비와 장비의 동업 제의를 흔쾌히 받아들인 것은 당연한 일이었다. 동업 기업의 관례에 따라 이들 세 명의 이름에서 한 글자씩을 따서 이 기업을 '비우비 기업'이라고 부르기로 하겠다.

여기서 유비와 장비 사이의 게임을 분석해보자. 이들은 서로 협력하거나 결별하는 방법을 선택할 수 있다. 두 사람이 협력을 선택한다면 <협력, 협력> 조합이 구성된다. 이 조합에서는 유비의 정치적 자원과 장비의 경제적 기반이 결합하기 때문에 동업기업이 성장하고, 그 덕분에 유비는 정치적 포부를 이루고, 장비는 물질적 부를 확대할 수 있다. 이 경우 두 사람이 얻는 보수를 <+, +>라고 표현할 수 있다. 유비는 협력하고 장비는 결별을 선택한다면 <협력, 결별> 조합이 구성된다. 이 경우 유비는 정치적 이상을 드러낼 수 있다는 점에서 여전히 얻는 것이 있지만, 장비 입장에서는 다년간 쌓아 놓은 재산을 투자 실패로 잃어버리는 것이 된다.

이 게임에서는 장비가 협력을 선택하든, 결별을 선택하든 유비에게는 언제나 협력이 결별보다 우월하다. 게임이론에서 사용하는 용어로 표현하면 협력이 바로 유비의 우월전략이다. 유비가 협력을 선택하는 경우와 장비가 협력을 선택했을 경우 얻을 수 있는 보수는 '+' 이지만, 결별을 선택했을 때 얻을 수 있는 보수는 '-'이므로 장비도 협력을 선택할 수밖에 없다. 따라서 유비와 장비 모두에게 가장 우월한 전략을 도출할 수 있다. 게임이론에서 모든 경기자에게 가장 우월한 전략으로 구성된 전략의 조합을 내쉬균형이라고 한다. 여기서 내쉬균형은 <협력, 협력>이다. 게임이론에서는 당사자 간의 합의가 내쉬균형을 이루어야만 이 합의가 자발적으로 이행될 수 있다. 다시 말해 유비, 관우, 장비가 한마음 한뜻으로 단결하기로 한 이 맹세를 철저히 지킨 것은 게임의 내쉬균형이 이루어졌기 때문이다. 이것이 바로 어떤 문제를 분석하거나 현상을 해석할 때 게임이론이 다른 이론과 다른 점이다.

격문을 보내 제후들을 불러 모으다_ 초첨균형을 찾아 구심점으로 삼다

중평 6년 영제가 붕어하자 십상시들이 황제의 장인인 대장군 하진에게 입궐 조서를 내렸다. 그를 죽여 후환을 없애고 황자 협을 황제로 옹립하려는 계산이었다. 하지만 이때 사예교위 원소가 관군 5천을 이끌고 하진을 호위해 궁궐로 들어가서 태자 변을 황제로 옹립했다. 원소는 하진에게 "기세를 몰아 환관을 제거해야 한다"고 건의했지만 하진은 결단을 내리지 못했다. 하진이 원대한 뜻을 품지 못했음을 짐작할 수 있는 대목이다. 그러자 원소가 다른 계략을 내놓았다. "사방의 영웅들을 불러 모아 군대를 이끌고 도읍으로 가서 환관들을 모조리 베어 죽이게 하십시오." 원소는 자기 손으로 황제를 옹립하고 환관들을 숙청해 큰 공을 세우겠다는 야심이었다. 재미있는 것은 대장군 하진이 원소의 이 편법에 동조하고 나섰다는 것이다. "그것 참 묘책이로다." 하진은 곧장 각 지방으로 격문을 내려 지방 군벌들에게 환관 토벌에 나설 것을 호소했다.

이 사건을 게임이론에 적용하여 분석해보자. 새로운 경기자를 끌어들여 게임 판도를 변화시킴으로써 자신에게 유리한 내쉬균형을 이끌어내는 것은 매우 중요한 게임전략이다. 하지만 '새로운 경기자들이 게임의 판도와 내쉬균형을 어떻게 변화시킬 것인가?'라는 문제는 하진이나 원소가 대답할 수 있는 것이 아니다. 그렇게 본다면 원소의 계략과 이를 받아들인 하진의 행동은 자신도 모르는 사이 커다란 모험을 감행한 것이자, 관리 개선의 원칙을 벗어난 실수였다.

원래 이 게임의 경기자는 하진을 중심으로 하는 사대부 연합과 환관 집단이었다. 이 경우 내쉬균형은 하진이 십상시를 주살하는 것이다. 게다가 이는 매우 쉬운 일이기도 했다. 당시 십상시가 하태후를 조종해 하진으로 하여금 환관 토벌에 나서지 못하도록 저지하기는 했지만, 하진은 여전히 유리한 위치에 있었기 때문이다. 만약 조조나 원소로 하여금 정병 1천 명을 이끌고 환관들을 숙청토록 했다면 천하 평정은 시간 문제였을 것이다. 그럼에도 하진은 원소의 편법을 따랐으니 그의 아둔함에 탄식할 따름이다. 결국 하진은 동탁을 도읍으로 불러들임으로써 십상시에게 자기 목숨을 잃은 것은 물론이요, 조정의 파탄을 더욱 가속화시키는 결과를 낳고 말았다.

동탁, 블루오션전략을 수립하다_ 동맹군, 죄수의 딜레마에 빠지다

삼국연의에 따르면 원소, 손견, 조조 등이 이끄는 반동탁 동맹군의 병력 수는 28만 명에 달하는 것으로 알려져 있다. 거대한 대군이 압박해 오자 동탁은 우선 장수 화웅을 급히 내보내 적을 맞도록 한 후, 20만 대군을 두 갈래로 나누어 그중 5만은 이각과 곽사에게 주어 사수관을 지키도록 하고, 나머지 15만은 직접 지휘해 이유, 여포 등과 함께 호뢰관으로 향했다. 호뢰관은 낙양에서 50리 밖에 떨어지지 않은 요충지였다. 군마가 호뢰관에 도착하자 동탁은 여포에게 3만 군사를 주어 수비하도록 하였다. 동탁의 군사가 병력면에서는 열세였지만 전진 기지는 사나운 화웅이 맡고, 후방에는 용맹한 여포가 버티고 있는데다 지략이 풍부한 이유가 보좌하고 있었다. 반면 동맹군은 병력에서는 우위였으나 사기 충만한 장수가 없었다.(당시 관우, 장비는 아직 직함이 없는 무명 장수에 불과) 그러므로 동탁군과 동맹군의 군사력은 비등했다고 볼 수 있다.

이 전투는 게임이론에서 치킨게임에 해당되는 사례이다. 이 게임의 경기자는 실력이 막상막하인 두 마리의 닭과 같다. 두 닭이 외나무다리에서 만났다고 할 때 각자 전진과 후퇴를 선택할 수 있다. 두 마리 모두 전진을 선택한다면 힘이 거의 대등하기 때문에 두 마리 모두 큰 상처를 입어 승부를 가리기 힘들다. 어쩌면 어느 한쪽이 죽어야 싸움이 끝날 수도 있다. 이 경우 양쪽이 얻는 보수는 모두 -3이라고 할 수 있다. 만약 한쪽이 전진하고 다른 한쪽이 후퇴를 선택한다면 전진하는 쪽은 아무 노력 없이 승리하게 된다. 이 경우 얻는 보수를 +2라고 하자. 후퇴를 선택한 닭도 비록 패하기는 했지만 죽기 살기로 싸우다 몸이 망가지는 것보다는 낫기 때문에 보수를 0이라고 말할 수 있다.

만약 두 마리 모두 후퇴를 택한다면 양쪽 모두 얻는 것은 없기 때문에 보수는 0이 된다. 따라서 치킨게임에서는 우위를 선점해야만 승리의 축배를 들 수 있고, 우위를 선점하지 못한다면 차라리 싸움을 포기하고 물러나는 것이 현명한 선택이다. 물론 후퇴를 선택하기 위해서는 더 큰 용기와 지혜가 필요하다. 여기서 짚고 넘어갈 점은 후퇴 역시 우위를 선점하기 위한 하나의 수단이라는 점이다. 전진하기로 한다면 더 용맹한 쪽이 승리할 것이고, 후퇴란 더 넓은 세상에서 새로운 기회를 찾고, 그 기회에서 우위를 선점하기 위한 일이 되는 것이다. 그러므로 남들이 발견하지 못하는 기회를 발견했다면 현재의 교착 상태를 포기하고 물러나는 것이 전략적으로 현명한 행동이다. 이것이 바로 레드오션을 초월해 블루오션을 창조하는 전략이다.

이제 호뢰관의 상황으로 다시 돌아가보자. 동탁의 선봉장 화웅이 동맹군의 관우에게 목숨을 잃자 동탁은 일당백의 용맹을 자랑하는 여포를 내보내 동맹군측의 장수들을 모두 패퇴시켰다. 사기가 크게 떨어진 동맹군측에서는 이제 누구도 감히 여포에게 대적할 엄두를 내지 못하고 있었다. 그때 유비와 관우, 장비 세 영웅이 힘을 함해 여포를 꺾었다. 그러자 동탁 진영은 전의를 상실했고 동탁은 이각을 사신으로 보내 손견에게 화친을 청했지만 손견은 매몰차게 거절해버렸다. 동탁은 딜레마에 빠졌다. 전진할 것인가, 후퇴할 것인가? 마침내 동탁은 이각의 건의를 받아들여 과감하게 철수를 결정했다. 갑작스런 동탁의 철수에 원소와 조조 등 반동탁 연합의 제후들은 당황하지 않을 수 없었다.

동탁의 이 후퇴는 사실 고도의 전략적 수단이었다. 동탁이 치킨게임을 포기하고 물러나자 싸울 상대를 잃은 18로 제후들은 우왕좌왕했다. '우리가 승리한 걸까?' 그런 것 같지는 않았다. 전리품도 없고 전쟁의 목적도 달성하지 못했으니 말이다 그렇다면 패배한 것일까 그렇지도 않은 듯했다. 일세를 풍미하던 동탁과 여포를 물리친 것은 사실이니 말이다. 게임이론의 관점에서 보면, 동탁이 장안으로 퇴각함으로써 낙양의 게임 판도에 근본적인 변화가 나타났다. 동맹군과 동탁사이의 치킨게임에서 18로 제후 사이의 게임으로 변화된 것이다.

원문 밖에서 화극을 쏘아 원술을 물리치다_ 소패에서 말을 빼앗아 옛정을 저버리다

원술이 군사 수만 명을 이끌고 유비가 있는 소패로 진격하자, 군량과 군사가 적었던 유비는 의형제를 맺었던 서주의 여포에게 도움을 요청하였다. 이에 여포는 곧장 지원군을 보냈는데 이는 뜻밖의 행동이었다. 사실 여포가 유비를 도운 것은 의형제에 대한 정에서 나온 것이라기보다 소패를 구함으로써 서주를 지키고 원술의 전략을 방어하기 위함이었다. 여포는 우선 유비와 원술의 대장군 기령을 청하여 연회를 베풀고는 원문 밖에 방천화극을 꽂아두게 하고 이렇게 제안했다. "내가 여기서 화살 한 대를 쏘아 화극의 끝에 달린 곁가지를 맞춘다면 양군은 군사를 거두고, 만약 맞추지 못하면 각자 군영으로 돌아가 전투 준비를 하시오. 내 말을 따르지 않는 자가 있으면 힘을 합하여 치겠소." 여포의 이 계책은 세 가지 전략적 가치를 지니고 있었다.

첫째, 원술의 대장군 기령에게 "나 여포에겐 적토마 말고도 방천화극이라는 무적의 무기가 있다. 원술 네 놈은 방천화극이 두렵지 않은 게냐?"라고 무언의 과시를 할 수 있다. 둘째, 유비에게 자신의 이런 행동이 유비를 위한 것이라는 것을 은연중에 알리는 효과가 있다. 자신이 보호해 주지 않았다면 이미 원술에게 짓밟혔을 것이니 소패나 지키며 숨죽이고 있으라는 압력이 담겨 있다. 셋째, 자신과 원술, 유비가 반목하지 않고 잘 지내는 것을 원하고 있음을 알릴 수 있다. 여포의 개입으로 분쟁은 평정되었지만, 원술은 이 결과에 노발대발하며 군대를 일으켜 몸소 유비와 여포를 토벌하겠다고 다짐했다. 그러자 기령이 계책을 내놓았다. "여포에게 혼기가 찬 여식이 하나 있으니 혼담을 넣으십시오. 여포가 주공과 사돈을 맺는다면 분명 유비를 죽일 것입니다." 이에 원술은 즉시 한윤에게 예물을 갖춰 주고 서주로 가서 혼담을 넣도록 했다.

여포와 원술이 사돈을 맺는 것은 유비를 겨냥한 일이었다. 따라서 이 동맹은 게임이론에서 말하는 공약이며 각종 경로를 통해 이 사건을 널리 알려 동맹이 게임에 참가한 모든 경기자들의 공통지식이 되도록 해야 한다. 그래서 여포는 예물과 꽃수레를 준비한 후 한윤과 딸을 호송토록 하고 한밤중에 북과 피리를 울리며 성 밖까지 배웅했다. 그러자 진규가 유비에게 큰 위험이 닥칠 것을 직감하고는 여포를 찾아가 이렇게 말했다. "원술이 장군께 혼인을 청해온 이유는 장군의 따님을 인질로 삼은 후에 유비를 쳐서 소패를 차지하려는 속셈으로 그런 것입니다. 소패를 빼앗기면 서주 땅 역시 위태롭게 됩니다. 더구나 원술은 황제가 되려는 야심까지 품고 있다 하니 이는 반역행위이기도 합니다. 만약 그가 반역하면 장군 또한 역적의 일가친척이 되는 셈인데 천하에 누가 장군을 용서하겠습니까." 진규의 이 복잡한 게임분석이 여포의 마음을 움직였다. 여포는 급히 군사를 시켜 한윤과 딸을 도로 데려왔고, 이로써 원술과 여포의 전략적 동맹은 결렬되고 말았다.

장료, 토산에 올라 관우를 설득하다_ 관우, 하비를 버리고 투항하다

관우가 유비, 장비와 뿔뿔이 흩어지고 서주와 패주도 모두 잃은 채 죽기를 다해 하비성을 지키고 있을 때의 일이다. 조조가 관우의 무예를 아껴 그를 자기 휘하로 들이고 싶어하자 정욱이 계책을 내놓았다. "거짓으로 싸움에 진 척 도주하여 그를 유인하신 후, 정예병을 시켜 그가 돌아갈 길을 끊는다면 아마 그를 설득해 볼 수 있을 것입니다." 정욱의 계책은 두 단계로 구분할 수 있다. 첫째 단계는 관우로 하여금 진퇴양난에 빠지게 하는 것이고, 둘째 단계는 설득을 통해 관우의 투항이라는 최종 목적을 달성하는 것이다. 게임이론의 관점에서 보면, 이 전술은 적이 옴짝달싹하지 못하도록 압박하여 게임의 판도를 바꿈으로써 자신에게 유리한 내쉬균형을 도출해 내는 것이었다.